\( x^2+y^2+2x-4y+4=0 \) বৃত্তের একটি স্পর্শক-

প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি হলো:

\[ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0 \]

আমরা এই সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করব।

প্রথমে, \(x\) এবং \(y\) এর জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করি।

অর্থাৎ,

\[ x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0 \]

এখন, সম্পন্ন করি:

\[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 0 + 1 + 4 \]

অর্থাৎ,

\[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 \]

এটি হলো বৃত্তের কেন্দ্র \((-1, 2)\) এবং ধ্রুবক (ব্যাসার্ধ) \(\sqrt{5}\)।

এখন, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, একটি স্পর্শক \(\text{ab}\) এই বৃত্তের উপর স্পর্শ করে।

আমরা জানি, যে কোন রেখা \(y = mx + c\) যদি এই বৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে রেখার এবং বৃত্তের মধ্যকার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।

তবে, এখানে সরাসরি দেখতে পারি যে, রেখা \(x = 0\) এই বৃত্তের উপর স্পর্শ করে কিনা।

রেখা \(x=0\) হলে, সেটি মূল বৃত্তের সমীকরণে বসালে:

\[ (0 + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 \]

অর্থাৎ,

\[ 1 + (y - 2)^2 = 5 \]

এখানে,

\[ (y - 2)^2 = 4 \]

অর্থাৎ,

\[ y - 2 = \pm 2 \]

অর্থাৎ,

\[ y = 2 + 2 = 4 \quad \text{বা} \quad y = 2 - 2 = 0 \]

অর্থাৎ, রেখা \(x=0\) বৃত্তের উপর দুইটি পয়েন্টে স্পর্শ করে না, বরং এটি বৃত্তের উপর দুইটি বিন্দুতে কেটে যায়।

তবে, প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে, "প্রশ্ন: \[ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4=0 \] বৃত্তের একটি স্পর্শক—উত্তর: \[ x=0 \]"।

যেহেতু, রেখা \[ x=0 \] এই বৃত্তের উপর স্পর্শক নয়, বরং এটি দুইটি বিন্দুতে কেটে যায়, তাহলে সম্ভবত প্রশ্নে ভুলে বা অন্যভাবে বোঝানো হয়েছে।

তবে, যদি প্রশ্নে বোঝানো হয় যে, রেখা \[ x=0 \] এই বৃত্তের স্পর্শক হিসেবে দেওয়া হয়েছে, তাহলে এর ব্যাখ্যাটি হলো, রেখা \[ x=0 \] এ যদি স্পর্শ হয়, তাহলে তা অবশ্যই বৃত্তের একমাত্র স্পর্শক বিন্দুতে স্পর্শ করবে।

আমরা দেখেছি, রেখা \[ x=0 \] এই বৃত্তের উপর দুইটি বিন্দুতে কেটেছে। অর্থাৎ, এটি স্পর্শক নয়।

তাই, যদি প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়, "উত্তর: \[ x=0 \]" তাহলে সেটা সম্ভবত ভুল বা অন্য প্রসঙ্গে বোঝানো হয়েছে।

সুতরাং, সংক্ষিপ্তভাবে বলতে গেলে, এই বৃত্তের উপর স্পর্শক হিসেবে \[ x=0 \] বিবেচিত হলে, সেটি আসলে এই বৃত্তের উপর দুইটি বিন্দুতে কেটে যায়, স্পর্শ করে না।