Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত রেখা: \( 3x + 2y + k = 0 \)
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 8y - 2x + 4 = 0 \)
ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃত্তের সমীকরণকে মানানসই রূপে প্রকাশ করি:
\[
x^2 - 2x + y^2 - 8y + 4 = 0
\]
সম্পূর্ণ স্কোয়ার করে লিখি:
\[
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = 0 + 1 + 16
\]
\[
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 17
\]
অতএব, কেন্দ্র \( C(h, k) = (1, 4) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{17} \)।
ধাপ ২: রেখা ও বৃত্তের স্পর্শের শর্ত
রেখা \( 3x + 2y + k = 0 \) বৃত্তকে স্পর্শ করলে, রেখা ও বৃত্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এখানে, \( A=3, B=2, C=k \), এবং কেন্দ্র \( (x_0, y_0) = (1, 4) \):
\[
d = \frac{|3 \times 1 + 2 \times 4 + k|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 8 + k|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|11 + k|}{\sqrt{13}}
\]
যেহেতু রেখা বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই:
\[
d = r = \sqrt{17}
\]
অতএব:
\[
\frac{|11 + k|}{\sqrt{13}} = \sqrt{17}
\]
\[
|11 + k| = \sqrt{13} \times \sqrt{17} = \sqrt{221}
\]
এখানে,
\[
|11 + k| = \sqrt{221}
\]
অর্থাৎ,
\[
11 + k = \pm \sqrt{221}
\]
> প্রথম ক্ষেত্রে:
\[
k = -11 + \sqrt{221}
\]
> দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
\[
k = -11 - \sqrt{221}
\]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে, কিরকম নির্দিষ্ট মানের জন্য, এবং উত্তরটি দেয়া হয়েছে \( -1 \)।
সুতরাং, কটি মানের মধ্যে \( k = -1 \):
চেক করি:
\[
|11 + (-1)| = |10| = 10
\]
\[
\sqrt{221} \approx 14.87
\]
এখানে, \( 10 \neq 14.87 \), তাই প্রথম পদ্ধতিতে সরাসরি মান মিলছে না। তবে, সম্ভবত প্রশ্নে অন্য মানে বা গাণিতিক সংশোধন থাকলেও, মূল সমাধান অনুযায়ী, কের মান \( -1 \) হওয়া যায় যদি অন্য পরিস্থিতি বা ভুল ধরা হয়।
তবে, মূল গাণিতিক সমাধান অনুসারে, সঠিক মান হলো:
\[
k = -11 \pm \sqrt{221}
\]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে যে, উত্তরটি \(-1\), যা সম্ভবত একটি নির্দিষ্ট পরিস্থিতি বা ভুলে দেওয়া হয়েছে।
অতএব, উপসংহার:
**সঠিক মান হলো \( k = -11 \pm \sqrt{221} \), তবে প্রশ্নে দেয়া উত্তরে বলা হয়েছে \( -1 \)।**
