ax²+x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে a এর মান কত?

প্রশ্ন: \( ax^2 + x + 1 = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে \( a \) এর মান কত?

ধরা যাক, সমীকরণের দুটি মূল \( \alpha \) এবং \( \beta \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, মূলদ্বয় সমান মানে:\( \alpha = \beta \)।

তাহলে, সমীকরণে মূলের সূত্র অনুযায়ী:

• সাম্য (Sum of roots): \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• প্রতিচ্ছেদ (Product of roots): \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

এখানে, সমীকরণ: \( ax^2 + x + 1 = 0 \)

অর্থাৎ, \( a \neq 0 \), এবং:

• Sum of roots: \( \alpha + \beta = -\frac{1}{a} \)
• Product of roots: \( \alpha \beta = \frac{1}{a} \)

যেহেতু মূলদ্বয় সমান, অর্থাৎ \( \alpha = \beta \), তাহলে:

• Sum: \( \alpha + \alpha = 2\alpha \)
• Product: \( \alpha \times \alpha = \alpha^2 \)

অর্থাৎ, মূলের সূত্র অনুযায়ী:

2\alpha = -\frac{1}{a}
\quad \text{এবং} \quad
\alpha^2 = \frac{1}{a}

এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে:

\alpha = -\frac{1}{2a}

এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে স্থানান্তর করে:

\left(-\frac{1}{2a}\right)^2 = \frac{1}{a}
\end{pre>

সমাধান করলে:
\frac{1}{4a^2} = \frac{1}{a}


উভয় পাশে সমান করে:
\frac{1}{4a^2} = \frac{1}{a}
\end{pre>

এখন, উভয় পাশে \( a \) দিয়ে গুণ করি (এখানে মনে রাখতে হবে যে, \( a \neq 0 \)):
\frac{a}{4a^2} = 1
\Rightarrow \frac{1}{4a} = 1
\end{pre>

অতএব:
4a = 1
\Rightarrow a = \frac{1}{4}


অতএব, \( a \) এর মান হলো: \( \boxed{\frac{1}{4}} \)