যদি x^y=e^x-y হয় তাহলে,dy/dx=?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \(x^y = e^{x-y}\) উভয় পক্ষে \(ln\) নিয়ে পাই, \(ln(x^y) = ln(e^{x-y})\) বা, \(y \cdot lnx = (x-y) \cdot ln(e)\) বা, \(y \cdot lnx = x - y\) [ যেহেতু \(ln(e) = 1\)] বা, \(y \cdot lnx + y = x\) বা, \(y(lnx + 1) = x\) সুতরাং, \(y = \frac{x}{lnx + 1}\) এখন, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, \(\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) এখানে, \(u = x\) এবং \(v = lnx + 1\) অতএব, \(\frac{dy}{dx} = \frac{(lnx + 1)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(lnx + 1)}{(lnx + 1)^2}\) \(= \frac{(lnx + 1) \cdot 1 - x \cdot (\frac{1}{x} + 0)}{(lnx + 1)^2}\) \(= \frac{lnx + 1 - 1}{(lnx + 1)^2}\) \(= \frac{lnx}{(lnx + 1)^2}\) এখন, \(\frac{1}{\frac{(lnx + 1)^2}{lnx}}\) \(= \frac{lnx}{(1 + lnx)^2}\) তাহলে, \(\frac{dy}{dx} = \frac{lnx}{(1 + lnx)^2}\) 😮‍💨 কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি হল \(\frac{(1+lnx)^2}{lnx}\). 🤔 দেখা যাচ্ছে উত্তরের সাথে এই উত্তরের মিল নেই। পূর্বের লাইনগুলো আরেকবার দেখা যাক। \(y = \frac{x}{lnx + 1}\) ✅ \(\frac{dy}{dx} = \frac{(lnx + 1)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(lnx + 1)}{(lnx + 1)^2}\) ✅ \(= \frac{(lnx + 1) \cdot 1 - x \cdot (\frac{1}{x} + 0)}{(lnx + 1)^2}\) ✅ \(= \frac{lnx + 1 - 1}{(lnx + 1)^2}\) ✅ \(= \frac{lnx}{(lnx + 1)^2}\) ✅ আমার মনে হচ্ছে প্রশ্ন অথবা উত্তরের কোথাও একটি ভুল রয়েছে। 😥 যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(x^y = e^{x-y}\) হলে, প্রমাণ করো \(\frac{dy}{dx} = \frac{y(1-y)}{x(1+y)}\) তাহলে, \(y \cdot lnx = x - y\) উভয়পক্ষে x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \(y \cdot \frac{1}{x} + lnx \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}\) \(\frac{dy}{dx} (lnx + 1) = 1 - \frac{y}{x}\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{y}{x}}{lnx + 1}\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x}{y}}\) [যেহেতু \(lnx+1 = \frac{x}{y}\)] \(\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-y)}{x^2}\) আবার, \(x-y = y \cdot lnx\) সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = \frac{y \cdot y \cdot lnx}{x^2}\) এখনো কাঙ্ক্ষিত উত্তর মেলানো যাচ্ছে না। 🤯