y=x^x হলে dy/dx =?

প্রশ্ন:

যদি \( y = x^x \), তবে \( \frac{dy}{dx} \) কত?

উত্তর:

প্রথমে, আমরা \( y = x^x \) কে লঘু রূপে লিখবো।

লিখুন:

\( y = x^x \)

এটি একটি এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন, যেখানে উভয় অংশই পরিবর্তনশীল। তাই, লঘু রূপে লেখার জন্য, নিচের পদক্ষেপ অনুসরণ করি।

ধাপ 1: লোগারিদম নিয়ে কাজ শুরু করা

বেস হিসেবে \( x \) থাকলে, উভয় পাশে লোগারিদম গ্রহণ করি:

\( \ln y = \ln \left( x^x \right) \)

এখানে, লোগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী:

\( \ln y = x \ln x \)

ধাপ 2: ডিফারেনশিয়াল নিয়ে কাজ

এখন, উভয় পাশে ডিফারেনশিয়াল নিই:

\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x) \)

ডান পাশে, উত্পন্ন করি:

\( \frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \)

ধাপ 3: সমাধান

অতএব,

\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \)

অর্থাৎ,

\( \frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) \)

এবং মনে রাখুন যে, \( y = x^x \), তাই:

\( \boxed{\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)} \)