সমমানের দুটি বলের লব্ধির মান তাদের যে কোনো একটির অর্ধেক হলে বল দুটির মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান:

ধরা যাক, দুটি বলের বলের মান যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, তাদের লব্ধির মান (resultant magnitude) হলো তাদের যে কোনো একটির অর্ধেক। অর্থাৎ:

• অথবা, প্রথম বলের লব্ধির মান হলো \( \frac{A}{2} \)
• অথবা, দ্বিতীয় বলের লব্ধির মান হলো \( \frac{B}{2} \)

ধরা যাক, দুই বলের কোণ \( \theta \)। দুই বলের লব্ধি মান সূত্র অনুযায়ী:

প্রতিটি বলের লব্ধির মান হবে:

\[
R_A = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}
\]

\[
R_B = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}
\]

কারণ, বলদুটি সমমানের, অর্থাৎ, \(A = B\)। তাহলে সূত্রগুলো হবে:

\[
R_A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = A \sqrt{2 + 2 \cos \theta}
\]

\[
R_B = \sqrt{A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta} = A \sqrt{2 - 2 \cos \theta}
\]

প্রশ্ন অনুযায়ী, এই লব্ধির মানটি তাদের যে কোনো একটির অর্ধেক। অর্থাৎ:

\[
A \sqrt{2 + 2 \cos \theta} = \frac{A}{2} \quad \text{অথবা} \quad A \sqrt{2 - 2 \cos \theta} = \frac{A}{2}
\]

অবস্থান অনুযায়ী, প্রথম বিকল্পটি বিবেচনা করা যাক:

\[
A \sqrt{2 + 2 \cos \theta} = \frac{A}{2}
\]

\[
\sqrt{2 + 2 \cos \theta} = \frac{1}{2}
\]

\[
2 + 2 \cos \theta = \frac{1}{4}
\]

\[
2 \cos \theta = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}
\]

\[
\cos \theta = -\frac{7}{8}
\]

\[
\theta = \cos^{-1} \left( -\frac{7}{8} \right)
\]