x³-3x+4=0 সমীকরণের মূলগুলো ɑ, β ও ɤ 

2ɑ, 2β ও 2ɤ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের মূল সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে: \[ x^3 - 3x + 4 = 0 \] এখন, বলা হয়েছে যে এর মূলগুলো হলো \(\alpha, \beta, \gamma\)। এবং এই মূলগুলো দ্বারা গঠিত মূলবিশিষ্ট সমীকরণের মূলগুলো হলো \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\)। আমাদের লক্ষ্য হলো এই নতুন মূলগুলো দিয়ে একটি মূলবিশিষ্ট সমীকরণ খুঁজে বের করা।

ধাপ ১: মূলসমূহের ওপর ভিত্তি করে মৌলিক উপসংহার

- মূলগুলো হলো \(\alpha, \beta, \gamma\) - নতুন মূলগুলো হলো \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\)

ধাপ ২: মূলসমূহের উপর ভিত্তি করে সমীকরণের সংজ্ঞা

- মূলসমূহের যোগফল: \[ S_1 = \alpha + \beta + \gamma \] - মূলসমূহের গুণফল: \[ P = \alpha \beta \gamma \] অভ্যস্ত তত্ত্ব অনুযায়ী, মূলগুলির জন্য মূল সমীকরণের সমাধান: \[ x^3 - S_1 x^2 + \text{(অন্য টার্ম)} = 0 \]

ধাপ ৩: মূলসমূহের মূল গুণফল ও যোগফল খুঁজে বের করা

প্রথম সমীকরণের জন্য, ভ্যাঞ্জেনর সূত্র অনুযায়ী: - মূলগুলোর যোগফল: \[ \alpha + \beta + \gamma = 0 \] - মূলগুলোর গুণফল: \[ \alpha \beta \gamma = -d \] - অন্যান্য সমীকরণ অনুযায়ী, মূলসমূহের সম্পর্ক: \(x^3 - 3x + 4 = 0\) উপসর্গের জন্য, সাধারণভাবে, সমীকরণের কোefficient অনুযায়ী: - \(\alpha + \beta + \gamma = 0\) (প্রথম মূলের কোefficient না থাকায়) - \(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3\) - \(\alpha \beta \gamma = -4\)

ধাপ ৪: নতুন মূলগুলো \(\mathbf{2\alpha, 2\beta, 2\gamma}\) এর জন্য সমীকরণ তৈরি

নতুন মূলগুলো: \[ \text{নতুন মূলগুলো} = 2\alpha, 2\beta, 2\gamma \] তাহলে, - নতুন মূলগুলোর যোগফল: \[ 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2 (\alpha + \beta + \gamma) = 2 \times 0 = 0 \] - নতুন মূলগুলোর গুণফল: \[ (2\alpha)(2\beta)(2\gamma) = 8 \alpha \beta \gamma = 8 \times (-4) = -32 \] এখন, মূলবিশিষ্ট সমীকরণের জন্য, যেখানে মূলগুলো হলো \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\), ফর্মুলা অনুযায়ী: \[ x^3 - (\text{নতুন মূলগুলোর যোগফল}) x^2 + \dots = 0 \] অতএব, মূলসমূহের যোগফল হলো 0, এবং গুণফল হলো \(-32\)। নতুন সমীকরণের সাধারণ রূপ: \[ x^3 - (\text{সাধারণ গুণফলের কারণে}) x^2 + \text{অন্য টার্ম} = 0 \] প্রথমে, লক্ষ্য করি যে মূলসমূহের যোগফল 0, তাই \(x^3 + p x + q = 0\) এর রূপে হয়। প্রাকটিক্যালভাবে, একটি মূলসমীকরণের জন্য, যেখানে মূলগুলো হলো \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\), আমরা তাদের গুণফল ও যোগফল ব্যবহার করে নতুন সমীকরণ লিখি: প্রথমে, মূলসমূহের গুণফল: \[ (2\alpha)(2\beta)(2\gamma) = -32 \] এবং, মূলসমূহের যোগফল: \[ 0 \] অতএব, নতুন সমীকরণের কোefficient: \[ x^3 - 0 \times x^2 + \text{অন্য টার্ম} = 0 \] এখন, মূলসমূহের গুণফল থেকে, দ্বিতীয় টার্ম নির্ণয় করার জন্য, সাধারণত: \[ \text{Sum of pairwise products} = (2\alpha)(2\beta) + (2\beta)(2\gamma) + (2\gamma)(2\alpha) = 4 (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) \] আমরা জানি: \[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -3 \] অতএব: \[ 4 \times (-3) = -12 \] এখন, মূল সমীকরণের সাধারণ রূপ: \[ x^3 - (\text{সাধারণ গুণফল}) x + \dots = 0 \] তাই, নতুন মূলগুলোর জন্য সমীকরণ হবে: \[ x^3 - 12x + \text{(গুণফলের সূত্র থেকে নির্ণয়)} = 0 \] এবং, গুণফল হলো \(-32\)। অতএব, সমীকরণের কোefficient: \[ x^3 - 12x + 32 = 0 \] এটি মূল সমীকরণের মূলগুলো হলো \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma\)।

উত্তর:

\[ \boxed{ x^3 - 12x + 32 = 0 } \]