Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int 4 \sin x \cos x \, dx\) এর মান কী?
উত্তর: \(2 \sin^2 x + C\)
সমাধান:
প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি সহজ করার জন্য, ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব।
বিশেষ করে, আমাদের জানা আছে যে:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
অতএব,
\[
4 \sin x \cos x = 2 \times 2 \sin x \cos x = 2 \times \sin 2x
\]
অর্থাৎ,
\[
\int 4 \sin x \cos x \, dx = \int 2 \sin 2x \, dx
\]
এখন, ইন্টিগ্রেশন চালানো যাক:
\[
\int 2 \sin 2x \, dx = 2 \int \sin 2x \, dx
\]
ইন্টিগ্রেশন সূত্র অনুযায়ী,
\[
\int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C
\]
অতএব,
\[
2 \int \sin 2x \, dx = 2 \times \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C = - \cos 2x + C
\]
অতএব, আমাদের মূল ইন্টিগ্রেশন ফলাফল হলো:
\[
\int 4 \sin x \cos x \, dx = - \cos 2x + C
\]
তবে, আমরা চাই সরাসরি \(\sin^2 x\) আকারে ফলাফল। এর জন্য, আমরা ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব:
\[
\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x
\]
অতএব,
\[
- \cos 2x + C = - (1 - 2 \sin^2 x) + C = -1 + 2 \sin^2 x + C
\]
যেহেতু C একটি অজানা ধ্রুবক, তাই এটি আবারও C হিসেবে লেখা যায়। মূলত, আমরা লিখতে পারি:
\[
\int 4 \sin x \cos x \, dx = 2 \sin^2 x + C
\]
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
