যদি ⁿC₂ = ⁿC₃ হয়, তবে ⁿC₄ = ?

Another Explanation (5): প্রদত্ত শর্ত: \(\binom{n}{2} = \binom{n}{3}\) প্রথমে, আমাদের এই সমীকরণ থেকে \(n\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। \[ \binom{n}{2} = \binom{n}{3} \] আমাদের জানা সূত্র অনুযায়ী: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] অতএব, \[ \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \] প্রথমে উভয় পাশে \(n!\) দ্বারা ভাগ করল???: \[ \frac{1}{2!(n-2)!} = \frac{1}{3!(n-3)!} \] এখন, উভয় পাশে উভয় দিকের বিবরণ: \[ \frac{1}{2 \times 1 \times (n-2)!} = \frac{1}{6 \times (n-3)!} \] সুতরাং, \[ \frac{1}{2(n-2)!} = \frac{1}{6(n-3)!} \] অর্থাৎ, \[ 6(n-3)! = 2(n-2)! \] উভয় পাশে 2 দিয়ে ভাগ করলে: \[ 3(n-3)! = (n-2)! \] এখন, মনে রাখি যে, \[ (n-2)! = (n-2)(n-3)! \] অতএব, \[ 3(n-3)! = (n-2)(n-3)! \] অতএব, \[ 3 = n - 2 \] অর্থাৎ, \[ n = 5 \] এখন, আমাদের উদ্দেশ্য হলো \(\binom{n}{4}\) এর মান নির্ণয় করা। \(n = 5\) হলে, \[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \times 1!} = \frac{120}{24 \times 1} = 5 \] অতএব, \[ \boxed{\binom{n}{4} = 5} \] উত্তর: 5