[(7,6),(8,7)] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?
Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্স হলো:
\[ A = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} \]
বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে ডিটারমিন্যান্ট \( \det(A) \) নির্ণয় করি:
\[
\det(A) = (7)(7) - (6)(8) = 49 - 48 = 1
\]
যেহেতু ডিটারমিন্যান্ট 1, তাই ম্যাট্রিক্সটিInvertible (উলটনযোগ্য)।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সূত্র:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A)
\]
অ্যাজ্যাঞ্জ ম্যাট্রিক্স (adjugate matrix) পাওয়ার জন্য, প্রথমে ম্যাট্রিক্সের কৌণিক মিনর নির্ণয় করি।
\[
\text{Minors}:
\begin{cases}
M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} = 7 \\
M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix} = 8 \\
M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix} = 6 \\
M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} = 7
\end{cases}
\]
এখানে, মিনরগুলো মূল ম্যাট্রিক্সের উপাদানের উপর ভিত্তি করে নয়। সঠিকভাবে মিনর নির্ণয়:
\[
\text{Minors}:
\begin{cases}
M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 7)} \\
M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 8)} \\
M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 6)} \\
M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix} \text{ (অর্থাৎ, 7)}
\end{cases}
\]
তবে, মিনর নির্ণয় করতে হলে, মূল ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের জন্য 2x2 উপ-ম্যাট্রিক্স থেকে ডিটারমিন্যান্ট নেওয়া হয়। কারণ, আমাদের ম্যাট্রিক্স 2x2, মিনর নির্ণয় সরাসরি উপাদানের উপর নির্ভর করে।
অতএব, প্রতিটি মিনর:
\[
\begin{cases}
M_{11} = \det \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = 49 - 48 = 1 \\
M_{12} = \det \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = (8)(7) - (7)(8) = 56 - 56 = 0 \\
M_{21} = \det \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 7 & 7 \end{bmatrix} = (6)(7) - (7)(7) = 42 - 49 = -7 \\
M_{22} = \det \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = 49 - 48 = 1
\end{cases}
\]
সুতরাং, cofactor matrix:
\[
\text{Cofactors} = \begin{bmatrix}
(+1) & (-0) \\
(+7) & (+1)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
7 & 1
\end{bmatrix}
\]
অ্যাজ্যাঞ্জ ম্যাট্রিক্স (adjugate):
\[
\text{adj}(A) = \text{transpose of cofactor matrix} = \begin{bmatrix}
1 & 7 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
বিপরীত ম্যাট্রিক্স:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A) = 1 \times \begin{bmatrix}
1 & 7 \\
0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 7 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
তবে, এই ফলাফলটি মূল ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নয় কারণ উপরের গণনায় কিছু ভুল হয়েছে। আসল গণনাটি সঠিকভাবে করতে হলে, 2x2 ম্যাট্রিক্সের ইনভার্সের জন্য সরাসরি সূত্র ব্যবহার করি:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
\]
যেখানে,
\[
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
\]
আমাদের ক্ষেত্রে:
\[
a=7, \quad b=6, \quad c=8, \quad d=7
\]
অতএব,
\[
A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix}
7 & -6 \\
-8 & 7
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
7 & -6 \\
-8 & 7
\end{bmatrix}
\]
এখন, মূল প্রশ্নে উল্লেখিত বিকল্পের সাথে তুলনা করলে, উত্তর হয়:
\[
[(7, -6), (-8, 7)]
\]
যা সঠিক।
**অতএব, উত্তর:**
\[
\boxed{[(7, -6), (-8, 7)]}
\]
