int_0^1(e^sqrtx)/(2sqrtx)=?

প্রশ্ন: \( \int_0^1 \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \, dx = ? \)

সমাধান:

ধরি, \( u = \sqrt{x} \). তাহলে, \( x = u^2 \) এবং \( dx = 2u \, du \).

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sqrt{0} = 0 \). এবং যখন \( x = 1 \), তখন \( u = \sqrt{1} = 1 \).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_0^1 \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_0^1 \frac{e^u}{2u} (2u \, du) = \int_0^1 e^u \, du \) 🎉

এখন, \( \int e^u \, du = e^u + C \). অতএব,

\( \int_0^1 e^u \, du = [e^u]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \) 🎈

সুতরাং, \( \int_0^1 \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \, dx = e - 1 \) ✅

উত্তর: \( e - 1 \) 😄