\( (-4, 3, 0) \) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( \vec{R} \) হলে, \( \vec{R} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k} \), \( ||\vec{R}|| = 5 \), \( \vec{R} \) ভেক্টরটি Z-অক্ষের উপর লম্ব, নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

প্রদত্ত বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( \vec{R} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k} \)।

এছাড়াও জানানো হয়েছে:

• \( ||\vec{R}|| = 5 \)
• ভেক্টরটি Z-অক্ষের উপর লম্ব (অর্থাৎ, Z-অক্ষের সাথে লম্ব)

প্রথমে, ভেক্টরটির ম্যাগনিটিউড (দৈর্ঘ্য):

\( ||\vec{R}|| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26} \)

তাই, \( ||\vec{R}|| = \sqrt{26} \neq 5 \)।

অর্থাৎ, প্রদত্ত ভেক্টর \( \vec{R} \) এর দৈর্ঘ্য ৫ নয়, বরং \( \sqrt{26} \)।

তালিকাভুক্ত বিবৃতি বা বিকল্পসমূহের মধ্যে কোনটি সম্ভব বা সত্য তা নির্ণয় করতে হবে।

যেহেতু ভেক্টরটি Z-অক্ষের উপর লম্ব, তাহলে এর উপাদানসমূহের মধ্যে Z-অক্ষের উপাদানটি (অর্থাৎ, \( \hat{k} \) এর উপাদান) অন্য উপাদানের সাথে সমান্তরাল নয়।

আমাদের মূল উদ্দেশ্য হলো, যদি \( \vec{R} \) Z-অক্ষের উপর লম্ব হয়, তাহলে এর সাথে Z-অক্ষের দিকের ভেক্টর \( \hat{k} \) এর মধ্যে ডট প্রোডাক্ট শূন্য হবে।

দুটি ভেক্টর:

• \( \vec{R} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 1 \hat{k} \)
• \( \hat{k} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k} \)

ডট প্রোডাক্ট পরীক্ষা:

\( \vec{R} \cdot \hat{k} = (4)(0) + (3)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0 \)

অর্থাৎ, \( \vec{R} \) এবং Z-অক্ষের দিকের ভেক্টর \( \hat{k} \) লম্ব নয়।

উপসংহার:

প্রদত্ত ভেক্টর \( \vec{R} \) Z-অক্ষের উপর লম্ব হলে, এর সাথে Z-অক্ষের দিকের ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হওয়া উচিত। কিন্তু, আমাদের গণনায় দেখা যাচ্ছে যে, ডট প্রোডাক্ট ১, অর্থাৎ শূন্য নয়।

অতএব, প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, \( \vec{R} \) Z-অক্ষের উপর লম্ব নয়।

উপসংহার:

তাই, সঠিক উত্তর হবে: "ii ও iii" (যদি বিকল্পসমূহে এই বিবৃতি থাকে)।