A+B+C=π=ও CosA+CosB+SinC হয় তা হলে B কোণের মান কত?

দেওয়া আছে, \(A+B+C = \pi\) এবং \(cosA + cosB = sinC\)।

যেহেতু \(A+B+C = \pi\), তাই \(C = \pi - (A+B)\)।

সুতরাং, \(sinC = sin(\pi - (A+B)) = sin(A+B)\)

অতএব, \(cosA + cosB = sin(A+B)\)

\(\Rightarrow cosA + cosB = sinAcosB + cosAsinB\)

\(\Rightarrow cosA - cosAsinB = sinAcosB - cosB\)

\(\Rightarrow cosA(1 - sinB) = cosB(sinA - 1)\)

\(\Rightarrow cosA(1 - sinB) + cosB(1 - sinA) = 0\)

আমরা জানি, \(cosA + cosB = sinC\)

\(\Rightarrow 2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = 2sin(\frac{C}{2})cos(\frac{C}{2})\)

\(\Rightarrow cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = sin(\frac{C}{2})cos(\frac{C}{2})\)

যেহেতু \(C = \pi - (A+B)\), তাই \(\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\)

\(\Rightarrow sin(\frac{C}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}) = cos(\frac{A+B}{2})\)

\(\Rightarrow cos(\frac{C}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}) = sin(\frac{A+B}{2})\)

অতএব, \(cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A+B}{2})\)

\(\Rightarrow cos(\frac{A+B}{2})[cos(\frac{A-B}{2}) - sin(\frac{A+B}{2})] = 0\)

যদি \(cos(\frac{A+B}{2}) = 0\) হয়, তবে \(\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2}\), সুতরাং \(A+B = \pi\), তাই \(C = 0\), যা সম্ভব নয়।

সুতরাং, \(cos(\frac{A-B}{2}) = sin(\frac{A+B}{2})\)

\(\Rightarrow cos(\frac{A-B}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2})\)

\(\Rightarrow \frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\)

\(\Rightarrow A-B = \pi - A - B\)

\(\Rightarrow 2A = \pi\)

\(\Rightarrow A = \frac{\pi}{2}\)

যদি \(A = \frac{\pi}{2}\) হয়, তবে \(cosA = 0\)।

সুতরাং, \(cosB = sinC = sin(\pi - (\frac{\pi}{2} + B)) = sin(\frac{\pi}{2} - B) = cosB\)

অতএব, \(cosA + cosB = sinC\) শর্তটি সিদ্ধ হয়।

এখন, যদি \(cos(\frac{A-B}{2}) - sin(\frac{A+B}{2})=0\) হয়, তবে \(\frac{A-B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\) বা, \(A=\frac{\pi}{2}\)।

অন্যভাবে, আমরা লিখতে পারি \(cosA+cosB=sinC\) কে \(cosA+cosB=sin(π-A-B)\) বা, \(cosA+cosB=sin(A+B)\) অথবা, \(cosA+cosB=sinAcosB+cosAsinB\) সুতরাং, \(cosA(1-sinB)+cosB(1-sinA)=0\) হবে।

যদি \(A=\frac{π}{2}\) হয়, তবে \(cos(\frac{π}{2})+cosB=sinC\) বা, \(cosB=sinC=sin(π-\frac{π}{2}-B)=sin(\frac{π}{2}-B)=cosB\) হবে। এক্ষেত্রে B যেকোনো মান নিতে পারে।

যদি \(B = \frac{\pi}{2}\) হয়, তবে \(cosA = sinC = sin(\pi - A - \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} - A) = cosA\) এক্ষেত্রে ও A যেকোনো মান নিতে পারে।

যদি \(A = \frac{\pi}{4}\) হয়, \(B = \frac{\pi}{4}\) হয়, তবে \(C = \frac{\pi}{2}\)। সে ক্ষেত্রে \(cosA + cosB = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\) কিন্তু \(sinC = sin\frac{\pi}{2} = 1\), সুতরাং \(\sqrt{2} = 1\) যা সত্য নয়।

যদি \(B = \frac{\pi}{2}\) হয়, তবে \(A+C = \frac{\pi}{2}\), সুতরাং \(C = \frac{\pi}{2} - A\)। তাহলে, \(cosA + cos(\frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} - A)\) বা, \(cosA + 0 = cosA\) যা সঠিক।

অতএব, \(B = \frac{\pi}{2}\) ✅