Explanation: 
Another Explanation (5):
সমাধান:
আমাদের দেওয়া ইন্টিগ্রেশনটি হলো:
\[
\int e^x \frac{1+\sin x}{1+\cos x} dx
\]
আমরা জানি, \(\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\) এবং \(\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1\). সুতরাং, \(1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}\).
তাহলে,
\[
\begin{aligned}
\int e^x \frac{1+\sin x}{1+\cos x} dx &= \int e^x \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx \\
&= \int e^x \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx \\
&= \int e^x \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx \\
&= \int e^x \left( \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) dx
\end{aligned}
\]
আমরা জানি, \(\frac{d}{dx} \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}\).
এখন, আমরা \(e^x f(x) + f'(x)\) আকারের ইন্টিগ্রেশনের সূত্র ব্যবহার করব, যেখানে \(\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C\).
এখানে, \(f(x) = \tan \frac{x}{2}\) এবং \(f'(x) = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}\).
সুতরাং,
\[
\int e^x \left( \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \right) dx = e^x \tan \frac{x}{2} + C
\]
অতএব, নির্ণেয় ইন্টিগ্রেশনটি হলো:
\[
e^x \tan \frac{x}{2} + C
\]
ফলাফল: \(e^x \tan(x/2) + c\) 🎉
