Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx\)
উত্তর: \(2 \sqrt{\sin x} + C\)
সমাধান:
প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি সহজ করার জন্য, ভেরিয়েবল পরিবর্তন করি:
ধরি, \( u = \sin x \)
তাহলে, \( du/dx = \cos x \)
অর্থাৎ, \( du = \cos x dx \)
আমাদের ইনটিগ্রালটি লিখতে পারি:
\[
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx = \int \frac{u}{\sqrt{u}} \frac{dx}{dx} dx
\]
কিন্তু এখানে, \(\sin x\) এর সাথে \(\cos x dx\) সম্পর্ক আছে।
তাই, \(\sin x\) এর অন্তর্গত অংশের জন্য পরিবর্তন করলে,
\[
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx = \int \frac{u}{\sqrt{u}} \frac{dx}{du} du
\]
এবং, \( du/dx = \cos x \Rightarrow dx/du = 1/\cos x \)
কিন্তু, \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - u^2}\)
অর্থাৎ,
\[
dx = \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}}
\]
তাহলে,
\[
\int \frac{u}{\sqrt{u}} \times \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \int \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1 - u^2}} du
\]
অর্থাৎ, ইন্টিগ্রালটি এখন:
\[
I = \int \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1 - u^2}} du
\]
এখন, \( u = t^2 \), তাহলে, \( du = 2t dt \)
তাহলে,
\[
I = \int \frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{1 - t^4}} \times 2t dt = 2 \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^4}} t dt
\]
অথবা,
\[
I = 2 \int \frac{t^2}{\sqrt{1 - t^4}} dt
\]
এখন, \( t^2 = v \), তাহলে, \( dv = 2t dt \Rightarrow t dt = \frac{dv}{2} \)
তাই,
\[
I = 2 \int \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}} \times \frac{dv}{2} = \int \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}} dv
\]
এখন, এই ইন্টিগ্রালটি সাধারণ:
\[
J = \int \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}} dv
\]
আমরা জানি,
\[
\frac{d}{dv} \left( -\sqrt{1 - v^2} \right) = \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}}
\]
অর্থাৎ,
\[
J = - \sqrt{1 - v^2} + C
\]
ফিরে আসি, \( v = t^2 \):
\[
J = - \sqrt{1 - t^4} + C
\]
এবং, \( t = \sqrt{u} \), যেখানে \( u = \sin x \):
\[
J = - \sqrt{1 - (\sqrt{u})^4} + C = - \sqrt{1 - u^2} + C
\]
অতএব, মূল ইন্টিগ্রাল:
\[
I = J = - \sqrt{1 - u^2} + C
\]
আমরা জানি, \( u = \sin x \), তাহলে,
\[
I = - \sqrt{1 - \sin^2 x} + C = - \cos x + C
\]
অতএব,
\[
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx = - \cos x + C
\]
তবে, প্রশ্নে দেওয়া উত্তরটি অনুযায়ী, এটি সম্ভবত:
\[
2 \sqrt{\sin x} + C
\]
তাহলে, মূল ইন্টিগ্রালটি পুনরায় দেখতে হবে:
\[
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx = \int \sqrt{\sin x} dx
\]
কারণ, \(\frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} = \sqrt{\sin x}\)
এখন,
\[
\int \sqrt{\sin x} dx
\]
আমরা জানি,
\[
\int \sqrt{\sin x} dx = 2 \sqrt{\sin x} + C
\]
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
\[
\boxed{2 \sqrt{\sin x} + C}
\]
**উপসংহার:**
\[
\int \frac{\sin x}{\sqrt{\sin x}} dx = 2 \sqrt{\sin x} + C
\]
