Another Explanation (5): প্রশ্নটি হলো: দুটি সদৃশ ভেক্টর vecA ও vecB যদি একই বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়া করে, তবে কোনটি সঠিক? বিকল্পগুলো হলো:
1. vecA · vecB = 0
2. vecA × vecB = 0
3. |vecA| + |vecB| = A + B
উত্তর: "ii ও iii"
আসুন প্রতিটি বিবরণ বিশ্লেষণ করি:
i. vecA · vecB = 0
- যখন দুটি ভেক্টর সদৃশ (collinear) হয়, তখন তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয় না, যদি না তারা উভয়ই শূন্য ভেক্টর।
- সদৃশ ভেক্টর হলে, vecA ও vecB একই দিকের বা বিপরীত দিকের।
- ডট প্রোডাক্টের সূত্র:
vecA · vecB = |vecA| |vecB| cosθ
- যদি তারা সদৃশ হয়, তাহলে θ = 0° বা 180°, যার জন্য cosθ = 1 বা -1.
- অতএব, vecA · vecB ≠ 0 যদি না তারা শূন্য হয়।
- তাই, vecA · vecB = 0 সাধারণত সত্য নয়, যদি তারা সদৃশ হয়।
ii. vecA × vecB = 0
- দুই ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হয়, যদি তারা সদৃশ বা একে অপরের সমান্তরাল হয়।
- কারণ,
vecA × vecB = |vecA| |vecB| sinθ n̂, যেখানে n̂ হলো ইউনিট ভেক্টর।
- যখন তারা সদৃশ, তখন θ = 0° বা 180°, এবং sinθ = 0, ফলে vecA × vecB = 0।
- তাই, এই বিবরণ সঠিক।
iii. |vecA| + |vecB| = A + B
- এখানে A ও B সম্ভবত ভেক্টর vecA ও vecB-এর মান বা মানের প্রতীক।
- সাধারণত, ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মানের যোগফল, ভেক্টর গুণফল বা অন্য কোনো গাণিতিক মানের সঙ্গে সরাসরি সমান হয় না।
- যদি এই বিবরণটি বোঝানো হয় যে, ভেক্টরগুলোর দৈর্ঘ্য যোগফল তাদের মানের যোগফলের সমান, তবে এটি সাধারণত সত্য নয়, বিশেষ করে যদি ভেক্টর সদৃশ হয়।
- তবে, যদি A ও B ভেক্টর vecA ও vecB-এর মান বা দৈর্ঘ্য হয়, তবে এটি শুধুমাত্র তখন সত্য হবে যখন vecA ও vecB একই দিকের এবং তাদের দৈর্ঘ্য যোগফল।
- তবে, সাধারণভাবে, ভেক্টর দৈর্ঘ্য যোগফল সরাসরি ভেক্টর যোগের ফলাফল নয়।
অতএব,
- ii সত্য।
- iii সম্ভবত সত্য বা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে সত্য।
উপসংহার:
প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়েছে, সঠিক উত্তর হচ্ছে: **"ii ও iii"**।
অর্থাৎ,
- ভেক্টর vecA ও vecB যদি সদৃশ হয়, তবে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট 0 হয়।
- এছাড়া, কিছু পরিস্থিতিতে তাদের দৈর্ঘ্য যোগফল মানের সমান হতে পারে।
সুতরাং,
উত্তর: "ii ও iii"।
