int_0^(pi/4)sinxdx+int_(-pi/4)^0sinxdx=?

প্রশ্ন: \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^0 \sin x \, dx = ?\)

সমাধান:

আমরা জানি, \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\), যেখানে \(C\) একটি ধ্রুবক।

তাহলে, প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\) 🤓

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 \sin x \, dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{4}}^0 = -\cos(0) - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\) 🤩

সুতরাং, উভয় ইন্টিগ্রালের যোগফল:

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^0 \sin x \, dx = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0\) 🎉

অতএব, উত্তর: 0