P(1,2) বিন্দু হতে 2x – y + 5 = 0 ও x + y - 4 = 0 রেখার উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব টানা হলাে। APQR এর ক্ষেত্রফল হলো-
Explanation: 
Another Explanation (5):
P(1,2) বিন্দু থেকে 2x - y + 5 = 0 এবং x + y - 4 = 0 রেখাগুলোর উপর লম্ব PQ ও PR টানা হয়েছে। ∆PQR এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, P থেকে 2x - y + 5 = 0 রেখার লম্ব দূরত্ব (PQ) নির্ণয় করি:
PQ = \(\frac{|2(1) - (2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\) = \(\frac{|2 - 2 + 5|}{\sqrt{4 + 1}}\) = \(\frac{5}{\sqrt{5}}\) = \(\sqrt{5}\) 📏
এরপর, P থেকে x + y - 4 = 0 রেখার লম্ব দূরত্ব (PR) নির্ণয় করি:
PR = \(\frac{|1 + 2 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\) = \(\frac{|3 - 4|}{\sqrt{1 + 1}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 📐
এখন Q এবং R বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। Q এবং R বিন্দু দুটি যথাক্রমে 2x - y + 5 = 0 এবং x + y - 4 = 0 রেখাগুলোর উপর অবস্থিত।
QR রেখার সমীকরণ নির্ণয় করার জন্য Q ও R বিন্দু দুটির ছেদ বিন্দু বের করতে হবে। Q ও R বিন্দু আসলে 2x - y + 5 = 0 এবং x + y - 4 = 0 এই সরলরেখা দুইটির ছেদ বিন্দু।
2x - y + 5 = 0 ...(1)
x + y - 4 = 0 ...(2)
যোগ করে পাই,
3x + 1 = 0
=> x = -1/3
(2) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
-1/3 + y - 4 = 0
=> y = 4 + 1/3 = 13/3
Q ও R রেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন কোণ \(90^\circ\) কারণ PQ ও PR লম্ব। সুতরাং, ∆PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
QR = \(\sqrt{PQ^2 + PR^2}\) এই সূত্র ব্যবহার করা যাবে না, কারণ QR এর মান অন্যভাবে বের করতে হবে। QR হলো ঐ দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু।
ছেদবিন্দু নির্ণয়:
2x - y + 5 = 0
x + y - 4 = 0
যোগ করে পাই:
3x + 1 = 0
x = -\(\frac{1}{3}\)
x এর মান ২য় সমীকরণে বসিয়ে:
-\(\frac{1}{3}\) + y - 4 = 0
y = 4 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{13}{3}\)
Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ = \(90^\circ\)
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}\) * PQ * PR = \(\frac{1}{2}\) * \(\sqrt{5}\) * \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)= \(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\)
QR সরলরেখার সমীকরণ হবে : 2x - y + 5 = 0 এবং x + y - 4 = 0 এই রেখা দুইটির ছেদবিন্দু (-1/3, 13/3)।
P(1, 2) থেকে QR এর লম্ব দূরত্ব বের করি।
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}\) * QR * PM
PM = \(\frac{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}{\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}}\)
ক্ষেত্রফল(∆PQR) = \(\frac{1}{2}\) * PQ * PR = \(\frac{1}{2}\) * \(\sqrt{5}\) * \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{10}}{4}\) বর্গ একক।
QR এর সমীকরণ: 5x+y-1=0
P(1,2) থেকে QR এর লম্ব দূরত্ব = \(\frac{|5+2-1|}{\sqrt{26}}\)=\(\frac{6}{\sqrt{26}}\)
QR=\(\sqrt{(\frac{-1}{3}-1)^2+(\frac{13}{3}-2)^2}\) = \(\sqrt{(\frac{-4}{3})^2+(\frac{7}{3})^2}\)=\(\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{49}{9}}\)=\(\sqrt{\frac{65}{9}}\)=\(\frac{\sqrt{65}}{3}\)
ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}\)*\(\frac{6}{\sqrt{26}}\)*\(\frac{\sqrt{65}}{3}\) = \(\frac{3}{4}\)
সুতরাং, APQR এর ক্ষেত্রফল হলো 3/4 বর্গ একক। 🎉
