নিচের কোন বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে ও (3, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যাহার কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে x–y= 3 রেখার উপর অবস্থিত

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r \)। যেহেতু বৃত্তটি \( x \) অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই \( r = |k| \)। যেহেতু কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই \( k > 0 \), সুতরাং \( r = k \)।

বৃত্তের সমীকরণ হবে:

\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2 \)

যেহেতু কেন্দ্র \( x - y = 3 \) রেখার উপর অবস্থিত, তাই \( h - k = 3 \), অর্থাৎ \( h = k + 3 \)।

সুতরাং বৃত্তের সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\( (x - (k + 3))^2 + (y - k)^2 = k^2 \)

যেহেতু বৃত্তটি \( (3, 3) \) বিন্দুগামী, তাই এই বিন্দুটি বৃত্তের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। সুতরাং,

\( (3 - (k + 3))^2 + (3 - k)^2 = k^2 \)

\( (-k)^2 + (3 - k)^2 = k^2 \)

\( k^2 + 9 - 6k + k^2 = k^2 \)

\( k^2 - 6k + 9 = 0 \)

\( (k - 3)^2 = 0 \)

\( k = 3 \)

তাহলে, \( h = k + 3 = 3 + 3 = 6 \) এবং \( r = k = 3 \)।

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ:

\( (x - 6)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 \)

\( x^2 - 12x + 36 + y^2 - 6y + 9 = 9 \)

\( x^2 + y^2 - 12x - 6y + 36 = 0 \)

🤔 কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি হল \( x^2 + y^2 - 6y = 0 \)।

যদি বৃত্তের কেন্দ্র \( (0,3) \) হয় এবং ব্যাসার্ধ 3 হয় তবে বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করবে এবং তার সমীকরণ হবে:

\( (x-0)^2 + (y-3)^2 = 3^2 \)

\( x^2 + y^2 -6y + 9 = 9 \)

\( x^2 + y^2 -6y = 0 \)

এই বৃত্তটি (0,0) বিন্দু দিয়ে যায়।

কিন্তু (3,3) বিন্দুটি এই বৃত্তের উপর অবস্থিত কিনা দেখি:

\( 3^2 + 3^2 - 6*3 = 9 + 9 - 18 = 0 \)

সুতরাং, (3,3) বিন্দুটি \( x^2 + y^2 -6y = 0 \) বৃত্তের উপর অবস্থিত।

এই বৃত্তের কেন্দ্র (0,3), যা x-y=3 রেখার উপর অবস্থিত নয়।

সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। 🤔