\(Sin\( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = m\cos \theta \) এবং Sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta = n\cos \theta \) হলে \(m^2\)-n\(^2\)\) এর মান কত?

Explanation: Hints: এখানে \(m\) ও \(n\) কে একপাশে রেখে Equation দুটিকে সরল করে তারপর \(m^2 - n^2\) এর মান বের করতে হবে। Solve: \(\sin\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta = m\cos\theta\) \(\implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{2}\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} = m \, [\cos\theta \, দ্বারা \, ভাগ \, করে]\) \(\implies \tan\theta + \sin\theta = m \, \dots (i)\) এবং \(\sin\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta = n\cos\theta \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{1}{2}\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} = n \) \(\implies \tan\theta - \sin\theta = n \, \dots (ii)\) এখন, \((i)^2 - (ii)^2 = m^2 - n^2\) \[ = (\tan\theta + \sin\theta)^2 - (\tan\theta - \sin\theta)^2 = 4 \tan\theta\sin\theta \] \[ = 4\sqrt{\tan^2\theta(1 - \cos^2\theta)} = 4\sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta} \] \[ = 4\sqrt{(\tan\theta + \sin\theta)(\tan\theta - \sin\theta)} = 4\sqrt{mn} \] Ans. (B) ব্যাখ্যা: প্রশ্নে শুধুমাত্র \(m^2 - n^2\) এর মান বের করতে বলা হয়েছে, সেহেতু প্রশ্নের সমীকরণ দুটা থেকে প্রথমে \(m\) আর \(n\) কে Free করে নেওয়া হয়েছে। \(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) এবং \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) সূত্রদ্বয় ছাড়া আর তেমন কোনো ত্রিকোণমিতিক সূত্রের প্রয়োজন পড়েনি। By Calculator: প্রথম সমীকরণগুলিকে এভাবে চেষ্টা করা: \[ m = \frac{\sin\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta}{\cos\theta} \, এবং \, n = \frac{\sin\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta}{\cos\theta} \] এখন \(\theta\) এর পছন্দমতো যে কোনো মানের জন্য ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে \(m\) ও \(n\) এর মান বের করে তারপর \(m^2 - n^2\) এর মান Option এর সাথে মিলাও।

Another Explanation (5): ```html

🤔 দেওয়া আছে:

\( \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = m\cos \theta \) .........(1)

\( \sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta = n\cos \theta \) .........(2)

আমাদের \( m^2 - n^2 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🧐

প্রথমে, আমরা (1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করি: घटाना ➖

\( (\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) - (\sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta) = m\cos \theta - n\cos \theta \)

\( \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta - \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = (m-n)\cos \theta \)

\( \sin 2\theta = (m-n)\cos \theta \)

\( 2\sin \theta \cos \theta = (m-n)\cos \theta \)

যদি \( \cos \theta \neq 0 \) হয়, তবে:

\( 2\sin \theta = m - n \) .........(3)

এখন, আমরা (1) নং সমীকরণ এবং (2) নং সমীকরণ যোগ করি: যোগ करना ➕

\( (\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + (\sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta) = m\cos \theta + n\cos \theta \)

\( \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + \sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta = (m+n)\cos \theta \)

\( 2\sin \theta = (m+n)\cos \theta \)

সুতরাং, \( m + n = \frac{2\sin \theta}{\cos \theta} = 2\tan \theta \) .........(4)

এখন, \( m^2 - n^2 = (m+n)(m-n) \) 🤔

\( m^2 - n^2 = (2\tan \theta)(2\sin \theta) \)

\( m^2 - n^2 = 4 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \sin \theta \)

\( m^2 - n^2 = 4 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \) .........(5)

এখন আমরা m ও n এর গুণফল বের করি:

\( m \cos \theta = \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \)

\( n \cos \theta = \sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \)

\( mn \cos^2 \theta = (\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta)(\sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta) \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - \frac{1}{4} \sin^2 2\theta \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - \frac{1}{4} (2 \sin \theta \cos \theta)^2 \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - \frac{1}{4} (4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta (1 - \cos^2 \theta) \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \sin^2 \theta \)

\( mn \cos^2 \theta = \sin^4 \theta \)

\( mn = \frac{\sin^4 \theta}{\cos^2 \theta} \)

\( \sqrt{mn} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \)

(5) নং সমীকরণ থেকে পাই, \( m^2 - n^2 = 4 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \)

সুতরাং, \( m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn} \) 🥳

```