Explanation: 
Another Explanation (5):
এখানে, \( \theta = \frac{\pi}{20} \) হলে, \( \cot \theta \cdot \cot 3\theta \cdot \cot 5\theta \cdots \cot 19\theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, \(\cot(n\theta)\) এর গুণফল আকারের রাশি থাকলে, সেটিকে সাইন এবং কোসাইন এর মাধ্যমে প্রকাশ করে সহজে সমাধান করা যায়।
প্রথমে রাশিটিকে এভাবে লিখি:
\[
P = \cot \theta \cdot \cot 3\theta \cdot \cot 5\theta \cdots \cot 19\theta = \prod_{k=1}^{10} \cot((2k-1)\theta)
\]
এখানে, \( \theta = \frac{\pi}{20} \) সুতরাং,
\[
P = \prod_{k=1}^{10} \cot\left((2k-1)\frac{\pi}{20}\right)
\]
এখন, আমরা \(\cot\) কে \(\frac{\cos}{\sin}\) আকারে লিখি:
\[
P = \prod_{k=1}^{10} \frac{\cos\left((2k-1)\frac{\pi}{20}\right)}{\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{20}\right)}
\]
আমরা জানি, \(\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\)। সুতরাং, \(\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (2k-1)\frac{\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{10\pi - (2k-1)\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{(11-2k)\pi}{20}\right)\)
এখন, k এর মানগুলো বসালে পাই:
k = 1 হলে, \(\cos\left(\frac{9\pi}{20}\right)\)
k = 2 হলে, \(\cos\left(\frac{7\pi}{20}\right)\)
k = 3 হলে, \(\cos\left(\frac{5\pi}{20}\right)\)
k = 4 হলে, \(\cos\left(\frac{3\pi}{20}\right)\)
k = 5 হলে, \(\cos\left(\frac{\pi}{20}\right)\)
k = 6 হলে, \(\cos\left(\frac{-\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{20}\right)\)
k = 7 হলে, \(\cos\left(\frac{-3\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{20}\right)\)
k = 8 হলে, \(\cos\left(\frac{-5\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{20}\right)\)
k = 9 হলে, \(\cos\left(\frac{-7\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{20}\right)\)
k = 10 হলে, \(\cos\left(\frac{-9\pi}{20}\right) = \cos\left(\frac{9\pi}{20}\right)\)
তাহলে,
\[
P = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{20}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{20}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{20}\right) \cdots \cos\left(\frac{19\pi}{20}\right)}{\cos\left(\frac{9\pi}{20}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{20}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{20}\right) \cdots \cos\left(\frac{\pi}{20}\right)}
\]
এখানে, লবের \(\cos\) এবং হরের \(\cos\) কাটাকাটি যায়। 🤔
এখন অন্যভাবে দেখা যাক,
আমরা জানি,
\[ \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}} \]
তাহলে,
\[ \prod_{k=1}^{9} \sin\left(\frac{k\pi}{10}\right) = \frac{10}{2^9} \]
আবার, \( \sin(\pi - x) = \sin x \) এই সূত্র ব্যবহার করে পাই,
\( \cot \theta \cdot \cot 3\theta \cdot \cot 5\theta \cdot \cot 7\theta \cdot \cot 9\theta = 1 \) 😎
সুতরাং, \( \cot \frac{\pi}{20} \cdot \cot \frac{3\pi}{20} \cdot \cot \frac{5\pi}{20} \cdot \cot \frac{7\pi}{20} \cdot \cot \frac{9\pi}{20} = 1 \) এবং
\( \cot \frac{11\pi}{20} \cdot \cot \frac{13\pi}{20} \cdot \cot \frac{15\pi}{20} \cdot \cot \frac{17\pi}{20} \cdot \cot \frac{19\pi}{20} = 1 \) হবে।
এখন, যেহেতু \(\cot(\pi - x) = -\cot x \), তাই শেষ পাঁচটি পদের প্রত্যেকটি ঋণাত্মক হবে। সুতরাং, এদের গুণফল -1 হবে। 🤯
অতএব, পুরো গুণফলটি -1 হবে। 🎉
