\( \sin \left( (2n+1)\pi + \alpha \right) = ? \)

প্রশ্ন: \( \sin \left( (2n+1)\pi + \alpha \right) = ? \)

উত্তর: \(- \sin \alpha\)

সমাধান:

আমরা জানি যে, 
\[
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
\]

এবং,
\[
\sin (k \pi + \theta) = (-1)^k \sin \theta
\]
যেখানে \(k\) হলো পূর্ণসংখ্যা।

এখানে, \(A = (2n + 1) \pi\), যেখানে \(k = 2n + 1\) (একটি অপ্রতীক সংখ্যা)। কারণ, \(2n + 1\) হল একটি বিজোড় সংখ্যা।

সুতরাং,
\[
\sin \left( (2n+1)\pi + \alpha \right) = (-1)^{2n+1} \sin \alpha
\]

এখন, \( (-1)^{2n+1} = -1 \) কারণ \(2n+1\) হল বিজোড় সংখ্যা।

অতএব,
\[
\sin \left( (2n+1)\pi + \alpha \right) = - \sin \alpha
\]