\(cos\theta - cos7\theta = sin\theta\) সমীকরণে \(\theta\) এর মান কত?

প্রশ্ন: \(cos\theta - cos7\theta = sin\theta\) সমীকরণে \(\theta\) এর মান কত? উত্তর: \(\theta = -\frac{\pi}{3}\)

সমাধান:

আমরা জানি, \(cosC - cosD = -2sin\frac{C+D}{2}sin\frac{C-D}{2}\)

সুতরাং, \(cos\theta - cos7\theta = -2sin\frac{\theta + 7\theta}{2}sin\frac{\theta - 7\theta}{2}\)

\(= -2sin\frac{8\theta}{2}sin\frac{-6\theta}{2}\)

\(= -2sin4\theta sin(-3\theta)\)

\(= 2sin4\theta sin3\theta \qquad [\because sin(-x) = -sinx]\)

অতএব, \(2sin4\theta sin3\theta = sin\theta\)

\(\Rightarrow 2sin4\theta sin3\theta - sin\theta = 0\)

যদি \(\theta = -\frac{\pi}{3}\) হয়, তবে:

\(sin\theta = sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(sin3\theta = sin(3 \times -\frac{\pi}{3}) = sin(-\pi) = 0\)

\(sin4\theta = sin(4 \times -\frac{\pi}{3}) = sin(-\frac{4\pi}{3}) = -sin(\frac{4\pi}{3}) = -sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-sin\frac{\pi}{3}) = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

বামপক্ষ:

\(2sin4\theta sin3\theta - sin\theta = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\)

\(= 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

ডানপক্ষ:

\(sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

বামপক্ষ ≠ ডানপক্ষ। সুতরাং, \(\theta = -\frac{\pi}{3}\) সঠিক উত্তর নয়। ❌

এখন, \(2sin4\theta sin3\theta - sin\theta = 0\)

যদি \(sin\theta = 0\) হয়, তবে \(\theta = n\pi\), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।

যদি \(sin\theta \neq 0\) হয়, তবে \(2sin4\theta sin3\theta = sin\theta\) থেকে অন্য সমাধান বের করতে হবে। 🤷‍♀️

আমরা জানি, \(2sinA sinB = cos(A-B) - cos(A+B)\)

সুতরাং, \(2sin4\theta sin3\theta = cos(4\theta - 3\theta) - cos(4\theta + 3\theta) = cos\theta - cos7\theta\)

তাহলে, \(cos\theta - cos7\theta = sin\theta\)

যদি \(\theta = \frac{\pi}{6}\) হয়:

\(cos\frac{\pi}{6} - cos\frac{7\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}\)

\(sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

বামপক্ষ ≠ ডানপক্ষ। 👎

এই সমীকরণ সমাধানের জন্য আরও জটিল ত্রিকোণমিতিক কৌশল অথবা সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে। 🧐

অন্যদিকে, প্রদত্ত উত্তর \(\theta = -\frac{\pi}{3}\) সঠিক নয়।

সঠিক উত্তরের জন্য অপেক্ষা করুন। ⏳