Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{5}{6}\)
আমরা জানি:
- \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
- \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
তাহলে, \(\csc \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\)
এখন, ধরি:
\[
A = \csc \theta + \cot \theta = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{5}{6}
\]
এবং, আমরা খুঁজছি:
\[
\csc \theta - \cot \theta = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
\]
ধাপ ১: \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) নির্ণয় করা
\[
\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{5}{6}
\Rightarrow 6(1 + \cos \theta) = 5 \sin \theta
\]
\[
6 + 6 \cos \theta = 5 \sin \theta
\]
এখন, \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করি:
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
তাই, এখানে আমরা \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) এর মান নির্ণয় করতে পারি।
প্রথমে, ধরি:
\[
x = \cos \theta
\]
\[
\sin \theta = \sqrt{1 - x^2}
\]
তাহলে,
\[
6 + 6x = 5 \sqrt{1 - x^2}
\]
অতএব,
\[
(6 + 6x)^2 = 25 (1 - x^2)
\]
বর্গ করি:
\[
36 + 72x + 36x^2 = 25 - 25x^2
\]
সাম্যবস্থাপনা:
\[
36 + 72x + 36x^2 + 25x^2 = 25
\]
\[
36 + 72x + 61x^2 = 25
\]
উভয় পাশে 25 কমাই:
\[
36 + 72x + 61x^2 - 25 = 0
\]
\[
11 + 72x + 61x^2 = 0
\]
অথবা,
\[
61x^2 + 72x + 11 = 0
\]
এটি একটি দ্বৈতবীজন সমাধান করি:
\[
x = \frac{-72 \pm \sqrt{72^2 - 4 \times 61 \times 11}}{2 \times 61}
\]
গণনা করি:
\[
\Delta = 72^2 - 4 \times 61 \times 11 = 5184 - 2684 = 2500
\]
অতএব,
\[
x = \frac{-72 \pm \sqrt{2500}}{122} = \frac{-72 \pm 50}{122}
\]
দুটি মান:
1. \(x = \frac{-72 + 50}{122} = \frac{-22}{122} = -\frac{11}{61}\)
2. \(x = \frac{-72 - 50}{122} = \frac{-122}{122} = -1\)
যদি \(\cos \theta = -1\), তাহলে \(\sin \theta = 0\), যা সমীকরণের জন্য মানানসই নয় কারণ তখন \(\csc \theta\) অজানা হবে। সুতরাং, উপযুক্ত মান হচ্ছে:
\[
\cos \theta = -\frac{11}{61}
\]
এখন, \(\sin \theta\) নির্ণয় করি:
\[
\sin \theta = \sqrt{1 - \left(-\frac{11}{61}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{121}{3721}} = \sqrt{\frac{3721 - 121}{3721}} = \sqrt{\frac{3600}{3721}} = \frac{60}{61}
\]
এখন, \(\csc \theta\) ও \(\cot \theta\) নির্ণয় করি:
\[
\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{60}{61}} = \frac{61}{60}
\]
\[
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-\frac{11}{61}}{\frac{60}{61}} = -\frac{11}{60}
\]
শেষে, \(\csc \theta - \cot \theta\) এর মান নির্ণয় করি:
\[
\csc \theta - \cot \theta = \frac{61}{60} - \left(-\frac{11}{60}\right) = \frac{61}{60} + \frac{11}{60} = \frac{72}{60} = \frac{6}{5}
\]
উত্তর:
6/5
