\( \frac{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ} \) এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\frac{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}\) এর মান কত?

উত্তর: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

সমাধান:

প্রথমত, সমন্বিত সাইন সমীকরণের জন্য আমরা সাইন এর যোগফল ও বিয়োগফল সূত্র ব্যবহার করব।

সাইন এর যোগফল ও বিয়োগফল সূত্র:

• \(\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right)\)
• \(\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \sin \left(\frac{A - B}{2}\right)\)

আমাদের ক্ষেত্রে, \(A = 75^\circ\) ও \(B = 15^\circ\)। তাই:

\[ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) \]

\[ = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ \]

এবং,

\[ \sin 75^\circ - \sin 15^\circ = 2 \cos \left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \sin \left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) \]

\[ = 2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]

অতএব, মূল অনুপাতের মান হবে:

\[ \frac{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ} = \frac{2 \cos 45^\circ \sin 30^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ} \]

সরলীকরণ করলে, দুটো সাধারণ গুণফল বাদ যাবে:

\[ = \frac{\cos 45^\circ \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ} \]

এখন, মানগুলি বসিয়ে দেই: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ = \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{4}} \]

উভয় দিকের \(\frac{1}{4}\) অংশ কেটে গেলে:

\[ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \]

প্রশ্নে দেওয়া মানের জন্য, আমরা মানটি আরও সরল করব:

\[ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 \times 3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অতএব, উত্তর হল: \(\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)