n এর মান শূন্য অথবা যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে cos {(2n+1)π +π/3} এর মান কত?

প্রশ্নের সমাধান

আমরা জানতে চাই
\(\cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right)\)

ধাপে ধাপে সমাধান:

1. প্রথমে, আমরা জানি যে,
   \(\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
2. তবে এখানে, মূল শর্ত হল, \(\cos\) এর আর্গুমেন্টের মধ্যে যোগফল।
3. আমরা লক্ষ্য করব যে, \(\cos\) এর অ্যাঙ্গেল \((2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3}\)
4. এখানে, \((2n + 1)\pi\) হলো অংকগুণ যেকোনো পূর্ণ সংখ্যার জন্য, একটি মৌলিক অ্যাঙ্গেল যা \(\pi\) এর গুণফল।

প্রধান দিক:

আমরা জানি যে, \(\cos(x + k\pi) = (-1)^k \cos x\), যেখানে \(k\) হলো পূর্ণসংখ্যা।

এখানে, \(x = \frac{\pi}{3}\) এবং \(k = 2n + 1\)

অর্থাৎ,

এখন, \( (-1)^{2n + 1} \) এর মান নির্ণয় করি:

\[
(-1)^{2n + 1} = (-1)^{2n} \times (-1)^1 = \left( (-1)^2 \right)^n \times (-1) = 1^n \times (-1) = -1
\]

অতএব,

\[ \cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right) = -1 \times \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \]

এবং, \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

অতএব, চূড়ান্ত মান:

\[ \boxed{ \cos \left( (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{3} \right) = - \frac{1}{2} } \]