vecb=2hati+6hatj+3hatk ভেক্টরের উপর veca=lamdahati+hatj+4hatk ভেক্টরের অভিক্ষেপের মান 4 একক হলে, λ এর মান নির্ণয় কর।
Explanation: 
Another Explanation (5):
দেওয়া আছে, \( \vec{a} = \lambda \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{a} \) এর উপর \( \vec{b} \) এর অভিক্ষেপ 4 একক।
আমরা জানি, \( \vec{a} \) এর উপর \( \vec{b} \) এর অভিক্ষেপ = \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \)
সুতরাং, \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} = 4 \)
এখন, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\lambda \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) = 2\lambda + 6 + 12 = 2\lambda + 18 \)
এবং, \( |\vec{a}| = \sqrt{\lambda^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{\lambda^2 + 17} \)
অতএব, \( \frac{2\lambda + 18}{\sqrt{\lambda^2 + 17}} = 4 \)
\( \implies 2\lambda + 18 = 4\sqrt{\lambda^2 + 17} \)
উভয় দিকে বর্গ করে পাই,
\( (2\lambda + 18)^2 = 16(\lambda^2 + 17) \)
\( \implies 4\lambda^2 + 72\lambda + 324 = 16\lambda^2 + 272 \)
\( \implies 12\lambda^2 - 72\lambda - 52 = 0 \)
\( \implies 3\lambda^2 - 18\lambda - 13 = 0 \)
এখন, দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে \( \lambda \) এর মান বের করতে হবে।
\( \lambda = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13)}}{2 \cdot 3} \)
\( \lambda = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 156}}{6} \)
\( \lambda = \frac{18 \pm \sqrt{480}}{6} = \frac{18 \pm \sqrt{16 \cdot 30}}{6} = \frac{18 \pm 4\sqrt{30}}{6} = 3 \pm \frac{2\sqrt{30}}{3} \)
এখন, \( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{b}|} = 4 \) হবে।
\( |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \)
তাহলে, \( \frac{2\lambda + 18}{7} = 4 \)
\( \implies 2\lambda + 18 = 28 \)
\( \implies 2\lambda = 10 \)
\( \implies \lambda = 5 \) 🎉
