int_(-pi/2)^(pi/2)sqrt((1-cos2x)/2)dx=? 

সমাধান

আমরা জানি, \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \)। সুতরাং,

\(\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 x}{2}} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|\)

এখন, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| dx\)

যেহেতু \(|\sin x|\) একটি জোড় ফাংশন (even function), তাই আমরা লিখতে পারি:

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} |\sin x| dx\)

আবার, \(0\) থেকে \(\pi/2\) এর মধ্যে \(\sin x\) ধনাত্মক, তাই \(|\sin x| = \sin x\)। সুতরাং,

\(2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))] = 2 [-0 + 1] = 2\)

অতএব,

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}} dx = 2\)

সুতরাং, সঠিক উত্তর 2। 🤔 প্রদত্ত উত্তরটি ভুল। ❌