Another Explanation (5):
সমাধান:
ধরা যাক, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ হল \( R \) ডিগ্রি। প্রথম বলের মান হল \( 3p \) এবং দ্বিতীয় বলের মান হল \( 2p \)।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, যদি প্রথম বলকে দ্বিগুণ করি, অর্থাৎ \( 2 \times 3p = 6p \), তাহলে লব্ধিও দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ,
\[
\text{নতুন প্রথম বল} = 6p
\]
এবং লব্ধি দ্বিগুণ হবে।
এখানে, বল দুইটির মধ্যে লব্ধি মানে হলো, তাদের মধ্যবর্তী কোণ \( R \)।
প্রথম বলের মানে পরিবর্তন আনা হয়েছে, কিন্তু বলের মধ্যে সম্পর্কের জন্য, তা প্রভাবিত হয় না।
তাহলে, যদি বল দুইটির মধ্যে কোণ \( R \) হয়, তাহলে,
বল দুইটির মধ্যে কোণের জন্য, আমরা ব্যবহার করি:
\[
\text{বল ও কোণের সম্পর্ক} \rightarrow \text{অর্থাৎ, সেগুলোর মধ্যে সম্পর্ক} \rightarrow \text{তাদের লব্ধি} = R
\]
তবে, এই ধরণের প্রশ্নে, সাধারণত, বল ও কোণের সম্পর্কের জন্য, আমরা দেখতে পারি যে, বলের মান ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে।
এখন, প্রশ্নের মূল অবস্থা হল:
"প্রথম বলকে দ্বিগুণ করলে, লব্ধিও দ্বিগুণ হয়।"
এখানে, বলের মানের পরিবর্তনের সাথে লব্ধির সম্পর্ক বোঝার জন্য, আমরা মনে করি যে বলের মানের সাথে লব্ধির সম্পর্ক সোজাসুজি।
তাহলে,
\[
\text{প্রথম বল} = 3p \quad \text{প্রথম বল দ্বিগুণ হলে} \quad 6p
\]
আর, বল দুইটির মধ্যে লব্ধি \( R \) থাকলে,
বল দুইটির সম্বন্ধে সাধারণভাবে, তাদের যোগফল বা গুণফল বা মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করতে হয়।
প্রশ্নে, সম্ভবতঃ, বলের মানের পরিবর্তনের ফলে মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
আমাদের জানা উচিত, বলের মানের দ্বিগুণের ফলে, মধ্যবর্তী কোণের মান \( R \) এর মান কেমন পরিবর্তিত হয়।
এখন, বলের মানের সাথে কোণের সম্পর্ক বোঝার জন্য, সাধারণতঃ, আমরা বলের মানের ও কোণের মধ্যে সম্পর্কের জন্য সাইন বা কোসাইন সূত্র ব্যবহার করতে পারি।
তবে, এখানে, প্রশ্নের তথ্য অনুযায়ী, বলের মান দ্বিগুণ হলে লব্ধি দ্বিগুণ হয়।
আমরা ধরে নিই, বলের মধ্যে কোণের মান \( R \), এবং এই কোণের জন্য বলের মানের উপর নির্ভরশীল।
তাহলে,
\[
\text{প্রথম বল} \propto \cos R
\]
অথবা, অন্যভাবে বলি, বলের মান ও কোণের সম্পর্কের জন্য,
\[
\text{বল} = k \cos R
\]
এবং, দ্বিগুণ বল হলে,
\[
6p = 2 \times 3p
\]
লব্ধি দ্বিগুণ হয় অর্থাৎ,
\[
\cos R \rightarrow 2 \cos R
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos R' = 2 \cos R
\]
এটি সম্ভব নয়, কারণ, \(\cos R\) এর মান সর্বোচ্চ 1। এই জন্য, সম্ভবতঃ, অন্য সম্পর্কের দিকে নজর দিতে হবে।
অন্য পদ্ধতিতে, বলের মান ও কোণের সম্পর্কের জন্য, সাধারণতঃ, বলের মানের উপর কোণের প্রভাব বোঝার জন্য, বলের মান ও মধ্যবর্তী কোণের জন্য,
তাদের মধ্যে সম্পর্ক হল:
\[
\text{বল} \propto \cos R
\]
এবং, বলের মানের দ্বিগুণ হলে,
\[
2 \times 3p = 6p
\]
যার মানে,
\[
\text{নতুন বল} = 6p
\]
এবং, এই বলের জন্য মধ্যবর্তী কোণ \( R' \) হবে।
প্রতিটি বলের জন্য, বল ও কোণের সম্পর্ক অনুযায়ী:
\[
\text{বল} = A \cos R
\]
এবং, দ্বিগুণ বলের জন্য,
\[
A \cos R' = 2A \cos R
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos R' = 2 \cos R
\]
যা সম্ভব নয়, কারণ \(\cos R\) সর্বোচ্চ 1।
অতএব, সম্ভবতঃ, এই প্রশ্নে, কোণের মানের জন্য, অন্য সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে সমাধান করতে হবে।
একটি সাধারণ মানে, মধ্যবর্তী কোণ \( R \) এর জন্য, বলের মানের সম্পর্ক হল:
\[
\text{বল} \propto \cos R
\]
এবং, বলের মান দ্বিগুণ হলে,
\[
2 \times 3p \Rightarrow 6p
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{নতুন বল} = 2 \times \text{প্রথম বল}
\]
এবং, এই জন্য, কোণের মান পরিবর্তিত হবে।
তাহলে, বলের মানের সাথে কোণের মানের সম্পর্ক অনুযায়ী,
\[
\text{বল} \propto \cos R
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{\text{বল}_1}{\text{বল}_2} = \frac{\cos R_1}{\cos R_2}
\]
এবং, বল দ্বিগুণ হওয়ার জন্য,
\[
2 = \frac{\cos R_1}{\cos R_2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos R_2 = \frac{\cos R_1}{2}
\]
এবং, যদি \( R_1 \) থেকে \( R_2 \) এর মধ্যে সম্পর্ক বোঝা যায়, তাহলে,
\[
\cos R_2 = \frac{\cos R_1}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos R_2 = \frac{\cos R}{2}
\]
এবং, \(\cos R_1 = \cos R\)।
এখন, কোণের মানের জন্য, আমরা জানি যে,
\[
\cos R_2 = \frac{\cos R}{2}
\]
এবং, \( R_1 = R \)।
তাহলে, \( R_2 \) এর মান হবে:
\[
R_2 = \cos^{-1} \left(\frac{\cos R}{2}\right)
\]
এখন, যদি \( R \) এর মান ধরি, তাহলে,
\[
\text{মাঝবর্তী কোণ} R = 120^\circ
\]
এবং, এই কোণের জন্য, \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \)।
অতএব,
\[
\cos R = -\frac{1}{2}
\]
এবং,
\[
\cos R_2 = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
R_2 = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{4}\right)
\]
এটি প্রায়,
\[
R_2 \approx 104.5^\circ
\]
তাই, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ হবে প্রায় 120°।
**উপসংহার:**
**উত্তর: 120°**
