\( \vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) এর উপর \( \vec{A} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) ভেক্টরের অভিক্ষেপ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

• ভেক্টর \(\vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\)
• অভিক্ষেপের ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\)

অভিক্ষেপের মানে হলো, \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ (projection) বের করা।

প্রথমত, ভেক্টর \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপের সূত্র হলো:

\[ \text{প্রজেকশন} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \]

এখানে, \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) হল ডট প্রোডাক্ট এবং \(|\vec{A}|\) হলো \(\vec{A}\) এর মান (ম্যাগনিটিউড)।

ধাপ ১: ডট প্রোডাক্ট হিসাব করি।

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(6) + (-2)(-3) + (1)(2) = 12 + 6 + 2 = 20 \]

ধাপ ২: \(\vec{A}\) এর ম্যাগনিটিউড হিসাব করি।

\[ |\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

ধাপ ৩: অভিক্ষেপের মান হিসাব করি।

\[ \text{Projection} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{20}{3} \]

তাহলে, অভিক্ষেপের মান হলো:

\[ \boxed{\frac{20}{3}} \] **তবে প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ আছে: "উত্তর: \( \frac{8}{7} \)"।** এ ক্ষেত্রে, সম্ভবত প্রশ্নে শুধুমাত্র ভেক্টর \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর অভিক্ষেপ এর মানের পরিবর্তে প্রজেকশন এর মান বা অন্য কিছু বোঝানো হয়েছে। অতএব, যদি প্রশ্নে ভেক্টর \(\vec{A}\) এর উপর \(\vec{B}\) এর প্রজেকশন দেওয়া হয়, তাহলে সেই মান হয়: \[ \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} = \frac{20}{3} \] যদিও প্রশ্নে উল্লেখ হয়েছে উত্তরে \(\frac{8}{7}\), সেটি সম্ভবত অন্য কোনো নির্দিষ্ট মান বা মানের অংশ। তবে উপরের গণনানুযায়ী, অভিক্ষেপের মান \(\frac{20}{3}\)। **উপসংহার:** প্রশ্নের ভিত্তিতে, অভিক্ষেপের মান হলো: \[ \boxed{\frac{20}{3}} \] যদি শুধুমাত্র প্রশ্নের উত্তরে নির্দিষ্ট মান \(\frac{8}{7}\) উল্লেখ থাকে, তাহলে সেটি অন্য কোনও গণনা বা ধরণের অভিক্ষেপের জন্য হতে পারে।