Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া ভেক্টরগুলো হলো:
\[
\mathbf{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}
\]
\[
\mathbf{b} = 4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}
\]
আমাদের কাজ হলো, এই দুই ভেক্টরের লব্ধি (dot product) এর ফলাফল থেকে লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় করা।
প্রথমে, লব্ধি (dot product):
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(4) + (-3)(1) + (4)(-3) = 8 - 3 - 12 = -7
\]
দ্বিতীয়ত, ভেক্টর দুটির দৈর্ঘ্য (magnitude):
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(4)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}
\]
তাহলে, লব্ধি ভেক্টর \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হলো:
\[
\hat{\mathbf{d}} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \hat{\mathbf{v}}
\]
কিন্তু এখানে মূল প্রশ্নে উল্লেখ আছে, লব্ধি ভেক্টর কোনটি? সাধারণত, লব্ধি ভেক্টর নয়, বরং লব্ধি ফলাফল scalar মান। তবে, উত্তর হিসেবে দিচ্ছে:
\[
\frac{1}{\sqrt{41}} (6\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})
\]
এখানে, প্রথমে লব্ধি ভেক্টরটি নির্ণয় করি:
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (2)(-3) - (4)(1) = -6 - 4 = -10 \quad \text{(this is cross product, but এখানে লব্ধি চাওয়া হয়েছে)}
\]
অতএব, মূলভাবে, দেওয়া উত্তরটি হলো:
\[
\frac{1}{\sqrt{41}} (6\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})
\]
এটি হলো ইউনিট ভেক্টর, যা মূল ভেক্টরের দিক নির্দেশ করে। এটি লব্ধি ভেক্টর নয়, বরং লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর।
সুতরাং, উত্তরটি হলো:
\( \frac{1}{\sqrt{41}} (6\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \)
