A=[x y z] হলে A^tA এর ক্রম কত?

সমাধান:

ধরা যাক, A = [x \quad y \quad z]

এখানে, A একটি 1×3 ম্যাট্রিক্স।

ধাপ 1: A^t এর মান:

A^t = 3×1 ম্যাট্রিক্স, যা হবে:

\[ A^{t} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]

ধাপ 2: A^t A এর গণনা:

অতএব,

\[ A^{t}A = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \times x & x \times y & x \times z \\ y \times x & y \times y & y \times z \\ z \times x & z \times y & z \times z \end{bmatrix} \]

ধাপ 3: আকার নির্ণয়:

এটি একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স।

নোট:

তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, A = [x y z], এটি সাধারণত একটি 1×3 রেকর্ড বা সারি ভেক্টর।

তাই, যদি A একটি 1×3 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে

\[ A^{t}A \text{ হবে একটি } 3×3 \text{ ম্যাট্রিক্স} \]

তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "1×3" কেন?

সম্ভবত, প্রশ্নটি ভুল বা বিভ্রান্তিকর। কারণ, সাধারণতঃ A^t A হবে একটি স্কেলার মান (1×1) বা একটি ম্যাট্রিক্স যার আকার নির্ভর করে A এর ডাইমেনশন উপর।

যদি A একটি 1×3 ভেক্টর হয়, তবে A^t A = x² + y² + z² হবে, যা স্কেলার মান (1×1)।

তবে, প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, সম্ভবত সেটি বোঝানো হয়েছে যে, A^t A এর আকার 1×3 নয়, বরং A এর আকার অনুসারে।

সুতরাং, সংক্ষেপে:

• যদি A = [x y z], অর্থাৎ A একটি 1×3 ভেক্টর,
• তাহলে, A^t A এর আকার হবে 1×1।

তবে, যদি A একটি 3×1 ভেক্টর হয়, তবে A^t A হবে 1×1।

উপসংহার:

প্রশ্নে উল্লেখিত "A = [x y z]" যদি মানে A একটি 1×3 ভেক্টর হয়, তবে A^t A এর ক্রম = 1×1।

অথচ, উত্তরে উল্লেখ হয়েছে "1×3", যা হয়ত ভুল বা অন্য প্রসঙ্গে।

তাই, প্রকৃতপক্ষে, A^t A এর ক্রম হব?? 1×1।