পোলার স্থানাঙ্ক \( \theta = \frac{\gamma}{4} \) দ্বারা কি নির্দেশ করে?

Explanation: Hints: কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\) এবং কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে \(x = r \cos \theta\) এবং \(y = r \sin \theta\) Solve: \(x = r \cos \theta = r \cos \frac{\pi}{4} = \frac{r}{\sqrt{2}} \implies r = \sqrt{2x}\) \(y = r \sin \theta = r \sin \frac{\pi}{4} = \frac{r}{\sqrt{2}} \implies r = \sqrt{2y}\) \(\therefore \sqrt{2x} = \sqrt{2y} \implies x = y \implies x - y = 0\) যা একটি সরলরেখার সমীকরণ। Ans. (A) ব্যাখ্যা: এখানে জ্যামিতিকভাবে সমাধারূপ বের করতে হবে। \(\theta\) এর মান দেওয়া আছে অর্থাৎ \(x\)-অক্ষের সাথে \(\theta\) জ্যামিতিক কাঠামোর প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট কোণ উৎপন্ন করে। ফ???স্বরূপ, সেটি সরলরেখাই হবে।

Another Explanation (5): ```html

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় \( \theta = \frac{\pi}{4} \) একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। 🤔

ব্যাখ্যা:

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, কোনো বিন্দুর অবস্থান \( (r, \theta) \) দ্বারা নির্দেশ করা হয়, যেখানে:

• \( r \) হলো মূলবিন্দু (origin) থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব।
• \( \theta \) হলো একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্স রেখা (সাধারণত ধনাত্মক \( x \)-অক্ষ) থেকে ঐ বিন্দুর কৌণিক অবস্থান।

যখন \( \theta \) এর মান নির্দিষ্ট (যেমন \( \frac{\pi}{4} \)), তখন \( r \) এর মান যেকোনো কিছু হতে পারে। এর মানে হলো, মূলবিন্দু থেকে বিভিন্ন দূরত্বে অবস্থিত কিন্তু একই কৌণিক অবস্থানে থাকা সকল বিন্দু এই শর্তটি পূরণ করবে। 🤯

গণিতিকভাবে, \( \theta = \frac{\pi}{4} \) বলতে বোঝায়:

\( \tan(\theta) = \tan(\frac{\pi}{4}) \)

\( \frac{y}{x} = 1 \)

\( y = x \)

এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ, যা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং ধনাত্মক \( x \)-অক্ষের সাথে \( 45^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। 🥳

উদাহরণ:

যদি \( r = 1 \) হয়, তবে বিন্দুটি হবে \( (1, \frac{\pi}{4}) \), যা কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \)।

যদি \( r = 2 \) হয়, তবে বিন্দুটি হবে \( (2, \frac{\pi}{4}) \), যা কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)।

এভাবে, \( r \) এর বিভিন্ন মানের জন্য আমরা \( y = x \) সরলরেখা বরাবর বিভিন্ন বিন্দু পাব। 🤓

সুতরাং, পোলার স্থানাঙ্ক \( \theta = \frac{\pi}{4} \) একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।

```