নিরেট সমকোণী শংকুর ভারকেন্দ্র তার উচ্চতাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান:

প্রশ্ন: নিরেট সমকোণী শংকুরের ভারকেন্দ্র তার উচ্চতাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

উত্তর: 3:1

সমাধান:

ধরি, নিরেট সমকোণী ত্রিভুজ \( \triangle ABC \) যেখানে \( \angle C = 90^\circ \)।

সাধারণভাবে, কারণের জন্য ধরি:

• অভিমুখী ভেক্টর \( \vec{a} \) থেকে \( \vec{b} \) পর্যন্ত শংকুরের কেন্দ্রের জন্য।

অভিধান:

• সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা \( AD \) (বিন্দু \( D \) হলো \( BC \) এর উপর), যেখানে \( D \) হলো \( BC \) এর উপর।
• ভারকেন্দ্র হলো উচ্চতা ও কোণদ্বৈত মধ্যবিন্দু, যাকে \( G \) দ্বারা চিহ্নিত করি।

উচ্চতা ও ভারকেন্দ্রের সম্পর্ক:

নিরেট সমকোণী ত্রিভুজে, উচ্চতা \( AD \) শংকুরের উপর আছে এবং এটি \( \triangle ABC \)-এর তিনটি মধ্যবিন্দুর সাথে যুক্ত।

উচ্চতা \( AD \) এর বিভাজন:

ভারকেন্দ্র \( G \) উচ্চতা \( AD \) কে বিভক্ত করে, যেখানে:

• প্রতিটি ভাগের অনুপাত \( AG:GD \) হয়।

প্রমাণ:

নিরেট সমকোণী ত্রিভুজে, উচ্চতা \( AD \) এর জন্য, গাণিতিক সম্পর্ক হয়:

এটি বোঝা যায়, কারণ উচ্চতা \( AD \) এর বিভাজক \( G \) উচ্চতা \( AD \) কে 3:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

সিদ্ধান্ত:

অতএব, নিরেট সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা \( AD \) ভারকেন্দ্র \( G \) দ্বারা বিভক্ত হয় 3:1 অনুপাতে।