int_1^2dx/(x(1+lnx))  যোগজীকরণ এর সমাধান নির্ণয় কর?

ধাপ ১: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি।

ধরি, \( u = 1 + \ln x \).

তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \) অথবা \( du = \frac{dx}{x} \). 🎉

ধাপ ২: যোগজের সীমা পরিবর্তন করি।

যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1 \). 🤩

যখন \( x = 2 \), তখন \( u = 1 + \ln 2 \). ✨

সুতরাং, নতুন যোগজটি হবে:

\( \int_1^{1+\ln 2} \frac{du}{u} \)

ধাপ ৩: যোগজ নির্ণয় করি।

\( \int \frac{du}{u} = \ln |u| + C \). 🤔

সুতরাং, \( \int_1^{1+\ln 2} \frac{du}{u} = \left[ \ln |u| \right]_1^{1+\ln 2} \). 🤓

ধাপ ৪: সীমা বসিয়ে মান বের করি।

\( \ln |1 + \ln 2| - \ln |1| = \ln (1 + \ln 2) - 0 = \ln (1 + \ln 2) \). 🥳

অতএব, \( \int_1^2 \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \ln (1 + \ln 2) \). ✅