Explanation: 
Another Explanation (5):
দেয়া আছে, সরল পথে চলমান একটি কণার গতি \(v = v_o(1-e^{-kt})\)। 🤔
আমরা জানি, \(v = \frac{ds}{dt}\), যেখানে \(s\) হলো সরণ।
সুতরাং, \(ds = v dt\)
এখন, \(ds = v_o(1-e^{-kt}) dt\)
উভয় পক্ষে সমাকলন করে পাই,
\(\int ds = \int v_o(1-e^{-kt}) dt\)
\(\implies s = v_o \int (1-e^{-kt}) dt\)
\(\implies s = v_o \left[ \int dt - \int e^{-kt} dt \right]\)
\(\implies s = v_o \left[ t - \frac{e^{-kt}}{-k} \right] + C\) , যেখানে C হলো সমাকলন ধ্রুবক।
\(\implies s = v_o \left[ t + \frac{e^{-kt}}{k} \right] + C\)
ধরি, \(t=0\) সময়ে \(s=0\) (অর্থাৎ কণাটি মূলবিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করেছে)।
তাহলে,
\(0 = v_o \left[ 0 + \frac{e^{0}}{k} \right] + C\)
\(\implies 0 = v_o \left[ \frac{1}{k} \right] + C\)
\(\implies C = -\frac{v_o}{k}\)
সুতরাং, \(s = v_o \left[ t + \frac{e^{-kt}}{k} \right] -\frac{v_o}{k}\)
\(\implies s = v_o t + \frac{v_o e^{-kt}}{k} -\frac{v_o}{k}\)
\(\implies s = v_o t + \frac{v_o}{k} (e^{-kt} - 1)\) 😍
অতএব, \(t\) সময়ে কণাটির সরণ \(s = v_o t + \frac{v_o}{k} (e^{-kt} - 1)\) 🥳
