x²+y²=1 ও y²=1-x বক্ররেখা দুইটি দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

x²+y²=1 ও y²=1-x বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

১. বক্ররেখাগুলোর পরিচিতি:

এখানে, x²+y²=1 একটি বৃত্ত ⭕️, যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 1 একক। এবং y²=1-x একটি পরাবৃত্ত parábola।

২. ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

বৃত্ত ও পরাবৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে। এর জন্য আমরা সমীকরণ দুইটি সমাধান করি: y²=1-x --- (১) x²+y²=1 --- (২) (১) নং সমীকরণ থেকে y² এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x² + (1-x) = 1 => x² - x = 0 => x(x-1) = 0 সুতরাং, x=0 অথবা x=1 যখন x=0, y²=1-0=1 => y=±1 সুতরাং ছেদ বিন্দু (0, 1) ও (0, -1) যখন x=1, y²=1-1=0 => y=0 সুতরাং ছেদ বিন্দু (1, 0) সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো (0, 1), (0, -1) ও (1, 0)।

৩. ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = ∫_-1¹ (x_{পরাবৃত্ত} - x_{বৃত্ত}) dy এখানে, পরাবৃত্ত ের সমীকরণ থেকে পাই, x = 1-y² বৃত্তের সমীকরণ থেকে পাই, x = √(1-y²) [যেহেতু আমরা শুধু প্রথম quadrant এর ক্ষেত্রফল বের করছি] সুতরাং, ক্ষেত্রফল = 2 * ∫₀¹ [(1-y²) - √(1-y²)] dy [যেহেতু y-axis এর সাপেক্ষে প্রতিসম] = 2 * [∫₀¹ (1-y²) dy - ∫₀¹ √(1-y²) dy] এখন, ∫₀¹ (1-y²) dy = [y - y³/3]₀¹ = (1 - 1/3) - (0-0) = 2/3 এবং ∫₀¹ √(1-y²) dy = (y/2)*√(1-y²) + (1/2)*sin^-1(y) ]₀¹ = [(1/2)*√(1-1) + (1/2)*sin^-1(1)] - [0 + (1/2)*sin^-1(0)] = 0 + (1/2)*(π/2) - 0 = π/4 অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 2 * [2/3 - π/4] = 2*(2/3 - π/4) = 2*(π/4 - 2/3) বর্গ একক। 🥳 ```