মিনারের শীর্ষ থেকে \( 19.5m/s \) বেগে খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত পাথর 5sec সময়ে নিচে পড়লে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরা যাক, মিনারের উচ্চতা \(h\) মিটার।

প্রথমে, পাথরটি খাড়া উপরে নিক্ষেপের সময়ের গতি \(u = 19.5 \, m/s\)।

পাথরটি নিচে পড়ার সময়ের জন্য, মোট সময় \(t = 5\) সেকেন্ড।

ধাপ ১: প্রথম ৫ সেকেন্ডে পাথরটির উপরে উঠার জন্য সময় নির্ণয়

পাথরটি শুরুর গতি \(u = 19.5\, m/s\) এবং পৃথিবীর মহাকর্ষীয় বল \(g = 9.8\, m/s^2\)।

উপরে উঠার জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা পাওয়ার জন্য, প্রথমে, যতক্ষণে পাথরটি সর্বোচ্চ পয়েন্টে পৌঁছায়, সেই সময় নির্ণয় করি:

\( t_{up} = \frac{u}{g} = \frac{19.5}{9.8} \approx 2\, \text{সেকেন্ড}\)

ধাপ ২: সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয়

সর্বোচ্চ উচ্চতা \(\Delta h_{up}\):

\(\Delta h_{up} = u \times t_{up} - \frac{1}{2} g t_{up}^2\)

\(\Delta h_{up} = 19.5 \times 2 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2\)

\(\Delta h_{up} = 39 - 19.6 = 19.4\, m\)

ধাপ ৩: নিচে পড়ার সময়

মোট সময় ৫ সেকেন্ড। উপরে উঠার জন্য ২ সেকেন্ড লাগলো, তাই নিচে পড়ার সময়:

\( t_{down} = 5 - 2 = 3\, \text{সেকেন্ড}\)

ধাপ ৪: সর্বোচ্চ পয়েন্ট থেকে নিচে পড়ার সময়ের উচ্চতা

নিচে পড়ার সময়ের জন্য, নিচে পড়ার শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত তার গতি ও উচ্চতা নির্ণয় করি।

নিচে পড়ার জন্য, প্রথমে, পাথরটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট থেকে নিচে পড়ার জন্য গতি শুরু করে \(0\, m/s\) থেকে।

নিচে পড়ার সময়ের উচ্চতা:

\(\Delta h_{down} = \frac{1}{2} g t_{down}^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 4.9 \times 9 = 44.1\, m\)

ধাপ ৫: মোট উচ্চতা নির্ণয়

পাথরটি প্রথমে \(19.4\, m\) উপরে উঠে, এর পরে নিচে পড়ে মোট উচ্চতা:

অর্থাৎ, মিনারটির উচ্চতা \(h\):

অধিকাংশ সময়ের জন্য, পাথরটি প্রথমে উঠেছে \(19.4\, m\), তারপর নিচে পড়ার জন্য মোট উচ্চতা সেটা যোগ করি।

তবে, যেহেতু পাথরটি ৫ সেকেন্ডে নিচে পড়েছে, এই সময়ের মধ্যে, পাথরটি প্রথম ২ সেকেন্ডে উপরে উঠে, তারপর ৩ সেকেন্ডে নিচে পড়ে। তাই, মোট উচ্চতা:

\(h = \text{উপরে ওঠার উচ্চতা} + \text{নিচে পড়ার উচ্চতা}\)

উপরে উঠার উচ্চতা: \(19.4\, m\)

নিচে পড়ার উচ্চতা: \(44.1\, m\)

তবে, এই দুইটি উচ্চতা যোগ করলে ভুল হবে কারণ, পাথরটি প্রথমে উপরে উঠেছে, তারপর নিচে পড়েছে।

সঠিকভাবে, পাথরটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট থেকে শুরু করে নিচে পড়ার জন্য মোট উচ্চতা:

মোট উচ্চতা, মিনারটির উচ্চতা \(h\), যা পাথরটির সর্বোচ্চ পয়েন্ট থেকে নিচে পড়ার সময়ের উচ্চতা যোগ করে নির্ণয় করা হয়।

সঠিক সমাধান:

শুরুতে, পাথরটি মিনার থেকে খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত।

আমাদের জানা: পাথরটি ৫ সেকেন্ডে নিচে পড়েছে।

পাথরটি উপরে উঠার সময়: \(t_{up} = 2\, s\), এই সময়ে, এটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছায়।

উচ্চতা: \(h_{max} = \Delta h_{up} = 19.4\, m\)

নিচে পড়ার জন্য, এটি আবার নিচে আসে, এই সময়ের জন্য, মিনারটির উচ্চতা হবে:

মোট সময়: ৫ সেকেন্ড। উপরে উঠার জন্য ২ সেকেন্ড, নিচে পড়ার জন্য ৩ সেকেন্ড।

অর্থাৎ, নিচে পড়ার সময়ের জন্য, পাথরটি সর্বোচ্চ পয়েন্ট থেকে নিচে পড়ে:

নিচে পড়ার উচ্চতা: \(44.1\, m\)

সুতরাং, মিনারটির উচ্চতা:

হ = সর্বোচ্চ উচ্চতা + নিচে পড়ার উচ্চতা

কিন্তু, এখানে, পাথরটি প্রথমে উপরে উঠে, তারপর নিচে পড়ে।

অর্থাৎ, মিনারটির উচ্চতা সমাধানের জন্য, পাথরটির সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে শুরু করে নিচে পড়ার জন্য মোট উচ্চতা:

উপসংহার:

অতএব, মিনারটির উচ্চতা:

\(h = \text{উপরে উঠার উচ্চতা} + \text{নিচে পড়ার উচ্চতা} = 19.4\, m + (3 \times 9.8 \times \frac{t_{down}}{2})\)

তবে, এইভাবে সমাধান করতে গেলে, সরাসরি হিসাবের জন্য, নিচের সূত্র ব্যবহার করা হয়:

উচ্চতা \(H = u \times t + \frac{1}{2} g t^2\)

সাধারণ সমাধান:

প্রথম, পাথরটি উপরে উঠেছে \(19.5\, m/s\) বেগে।

সর্বোচ্চ পয়েন্টে পৌঁছানোর সময়: \(t_{up} = 2\, s\)

উচ্চতা: \(h = u t_{up} - \frac{1}{2} g t_{up}^2 = 19.5 \times 2 - 4.9 \times 4 = 39 - 19.6 = 19.4\, m\)

তাই, মিনারটির উচ্চতা:

প্রারম্ভিক গতি ও সময়ের উপর ভিত্তি করে, মূলত:

উত্তর: 25m