sin 20° + cos 20° এর মান কত?

প্রশ্নঃ

sin 20° + cos 20° এর মান কত?

উত্তরঃ

আমরা জানি,

\[ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + 45^\circ \right) \]

প্রমাণ:

প্রথমে, \(\sin \theta + \cos \theta\) কে রূপান্তর করি:

\[ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left( \frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} \right) \]

এখন, \(\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}}\) এবং \(\frac{\cos \theta}{\sqrt{2}}\) কে সাইন ও কসমের সমন্বয়ে লেখা যায়:

\[ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left( \sin 45^\circ \left( \frac{\sin \theta}{\sin 45^\circ} \right) + \cos 45^\circ \left( \frac{\cos \theta}{\cos 45^\circ} \right) \right) \]

যেখানে, \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)। এই রূপে, এটি হয়:

\[ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left( \sin 45^\circ \sin \theta + \cos 45^\circ \cos \theta \right) \]

এটা হয়:

\[ \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + 45^\circ \right) \]

প্রয়োগ:

এখন, \(\theta = 20^\circ\) এর জন্য:

\[ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ = \sqrt{2} \sin \left( 20^\circ + 45^\circ \right) = \sqrt{2} \sin 65^\circ \]

অন্য রূপে,

\(\sin 65^\circ = \cos 25^\circ\), কারণ \(\sin (90^\circ - x) = \cos x\)। অতএব,

\[ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ = \sqrt{2} \cos 25^\circ \]

অতএব:

উত্তর: \(\sqrt{2} \cos 25^\circ\)