Explanation: Solve: দেওয়া আছে, \(\frac{dy}{dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x\) [কারণ \(e^{\ln(a)} = a\) লেখা যায়]
\(\implies \int \frac{dy}{dx} dx = \int \ln x \implies y = \ln x \int 1 dx - \int \left(\frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 dx\right) dx\)
\(\implies y = x \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx \implies y = x \ln x - x + c\)
এই রেখাটি \((1, 2)\) বিন্দুগামী বলে, \(2 = 1.\ln 1 - 1 + c = 0 - 1 + c\)
\(\implies c = 3\)
\(\therefore\) রেখাটির সমীকরণ, \(y = x \ln x - x + 3 \implies y = x(\ln x - 1) + 3\)
Ans. (E)
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: \( (1,2) \) বিন্দুগামী \( y \) বক্ররেখার অন্তরক সহগ \( e^{\ln(\ln x)} \) হলে বক্ররেখাটির সমীকরণ -
সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \frac{dy}{dx} = e^{\ln(\ln x)} \)
আমরা জানি, \( e^{\ln a} = a \)
সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \ln x \)
এখন, উভয়পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে সমাকলন করে পাই,
\( \int \frac{dy}{dx} dx = \int \ln x \, dx \)
\( \therefore y = \int \ln x \, dx \)
ধরি, \( u = \ln x \) এবং \( dv = dx \)
তাহলে, \( du = \frac{1}{x} dx \) এবং \( v = x \)
সুতরাং, \( \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \)
\( = x \ln x - \int 1 \, dx \)
\( = x \ln x - x + c \) , যেখানে \( c \) একটি ধ্রুবক।
সুতরাং, \( y = x \ln x - x + c \)
যেহেতু বক্ররেখাটি \( (1,2) \) বিন্দুগামী, তাই \( x = 1 \) এবং \( y = 2 \) বসিয়ে পাই,
\( 2 = 1 \cdot \ln 1 - 1 + c \)
আমরা জানি, \( \ln 1 = 0 \)
সুতরাং, \( 2 = 0 - 1 + c \)
\( \therefore c = 3 \)
অতএব, নির্ণেয় বক্ররেখার সমীকরণ \( y = x \ln x - x + 3 \)
\( \therefore y = x(\ln x - 1) + 3 \) 🎉🎉
```
