Another Explanation (5):
Mathematical Solution
সমাধান:
প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, অন্তর্ভুক্তি কোণের মান \( \cos^{-1}\left(\frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}}\right) \)। অর্থাৎ, দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) এর জন্য, তাদের অন্তর্ভুক্তি কোণের মান এই সূত্রে নির্ণয় করা যাবে:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}
\]
আমাদের দেওয়া ভেক্টরগুলি হল:
\[
\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}
\]
\[
\vec{B} = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}
\]
ধাপ ১: ভেক্টরগুলির ডট প্রোডাক্ট নির্ণয়:
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (-3)(4) + (-1)(3) = 2 - 12 - 3 = -13
\]
ধাপ ২: প্রতিটি ভেক্টরের মাত্রা নির্ণয়:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}
\]
\[
|\vec{B}| = \sqrt{(1)^2 + (4)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}
\]
ধাপ ৩: অন্তর্ভুক্তি কোণের মান নির্ণয়:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{-13}{\sqrt{14} \times \sqrt{26}} = \frac{-13}{\sqrt{14 \times 26}}
\]
ধাপ ৪: মানের তুলনা:
\[
\sqrt{14 \times 26} = \sqrt{364}
\]
এবং,
\[
\sqrt{364} = 2 \sqrt{91}
\]
অতএব,
\[
\cos \theta = \frac{-13}{2 \sqrt{91}}
\]
ধাপ ৫: প্রশ্নে দেওয়া মানের সাথে তুলনা:
প্রশ্নে দেওয়া মান:
\[
\cos \theta = \frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}}
\]
তুলনা করি:
\[
\frac{-\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \quad \text{এবং} \quad \frac{-13}{2 \sqrt{91}}
\]
দুটি মানের সমতা পরীক্ষা করি:
\[
\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}} \stackrel{?}{=} \frac{13}{2 \sqrt{91}}
\]
প্রথম মান:
\[
\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{7}}
\]
দ্বিতীয় মান:
\[
\frac{13}{2 \sqrt{91}}
\]
এখন, দেখি যদি উভয় মান সমান হয়:
\[
\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}} = \frac{13}{\sqrt{91}}
\]
উভয় পাশে বর্গ করি:
\[
\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}\right)^2 = \left(\frac{13}{\sqrt{91}}\right)^2
\]
অর্থাৎ:
\[
\frac{13}{7} = \frac{169}{91}
\]
দুটি মান সমান কিনা:
\[
\frac{13}{7} = \frac{169}{91}
\]
কারণ \( 169 = 13^2 \), এবং \( 91 = 7 \times 13 \):
\[
\frac{169}{91} = \frac{13^2}{7 \times 13} = \frac{13}{7}
\]
অর্থাৎ, উভয় মান সমান। অতএব, দেওয়া মানটি আসলেই সমান।
### উপসংহার:
অতএব, উল্লিখিত ভেক্টরদ্বয়ের জন্য অন্তর্ভুক্তি কোণের মান এই মানের সমান। অর্থাৎ, এই ভেক্টরদ্বয় এই মানের জন্য সত্য।
উত্তর:
যেহেতু ভেক্টরদ্বয় হল \( \mathbf{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \mathbf{B} = \hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \), তাদের অন্তর্ভুক্তি কোণের মান দেওয়া মানের সমান।
