(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

প্রশ্ন: (2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

উত্তর: 2√5

সমাধান:

ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্রের সমন্বয় \( C(2, 3) \) এবং এর ত্রিজ্যুতি বা রেডিয়াস \( r \)।

প্রথমে, যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে এর মোট রেডিয়াসের দৈর্ঘ্য কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দুরত্বের সমান হবে।

কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দুরত্ব:

d = |y-coordinate of কেন্দ্র| = |3| = 3

অর্থাৎ, বৃত্তের রেডিয়াস \( r = 3 \)।

বৃত্তের সমীকরণ:

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 = 9

অক্ষের সঙ্গে স্পর্শের বিন্দু নির্ণয়:

প্রথমে, x-অক্ষের জন্য, যেখানে \( y = 0 \):

বৃত্তের সমীকরণে \( y = 0 \) স্থাপন করি:

(x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = 9
(x - 2)^2 + 9 = 9
(x - 2)^2 = 0

অর্থাৎ, \( x = 2 \)।

অতএব, বৃত্তটি x-অক্ষের উপর স্পর্শ করে, যেখানে স্পর্শ বিন্দু হলো \( (2, 0) \)।

অক্ষের অংশের পরিমাণ নির্ণয়:

অক্ষের উপর বৃত্তের অংশের পরিমাণ বা আয়তন (অপেক্ষাকৃতভাবে, এই ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য) হলো স্পর্শ বিন্দু থেকে x-অক্ষের অন্য অংশের দূরত্ব।

কিন্তু এখানে, যেহেতু বৃত্তটি x-অক্ষের উপর স্পর্শ করে, তাহলে এটি x-অক্ষের উপর সম্পূর্ণরূপে অর্ধবৃত্তের মত।

তবে, প্রশ্নে "y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?" বোঝানো হচ্ছে, y-অক্ষের উপরে বা নিচে অবস্থিত বৃত্তের অংশের পরিমাণ।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দুরত্ব:

d_y = |x-coordinate of কেন্দ্র| = |2| = 2

যেহেতু রেডিয়াস \( r = 3 \), তাহলে, y-অক্ষের সঙ্গে বৃত্তের ইন্টারসেকশন পয়েন্টের জন্য সমাধান করি:

(x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = 9
অথবা, y = 0 এর জন্য, x-অক্ষের সমাধান আগের মত 2। তবে, এখন, বৃত্তটি y-অক্ষের উপর কেমনভাবে কাটা যায় তা দেখা দরকার।


y-অক্ষের জন্য সমীকরণ:
যেহেতু, y-অক্ষের জন্য \( x=0 \):
(0 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9
4 + (y - 3)^2 = 9
(y - 3)^2 = 5


অর্থাৎ, 
y - 3 = ±√5

=> 
y = 3 ± √5




অর্থাৎ, y-অক্ষের উপর বৃত্তের ছেদ বিন্দু হলো:
(0, 3 + √5) এবং (0, 3 - √5)


অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ:
অক্ষের উপর বৃত্তের অংশের দৈর্ঘ্য হলো দুই বিন্দুর y-মানের পার্থক্য:
(3 + √5) - (3 - √5) = 2√5


উপসংহার:
অতএব, y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ হলো 2√5 একক।