Another Explanation (5):
সমাধান:
দ্বিতীয় ধাপ: মূলবিন্দু থেক?? সরলরেখার দূরত্ব 6 একক। ধরা যাক, সরলরেখার সমীকরণ হলো:
\[
ax + by + c = 0
\]
প্রদত্ত বিন্দু হলো: \((x_1, y_1) = (3, 6)\)
প্রথম ধাপ: সরলরেখার সমীকরণের সাধারণ রূপে, দিক নির্দেশক ও বিন্দু দিয়ে নির্ণয় করব।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 6
\]
দ্বিতীয় ধাপ: আমরা জানি যে, সরলরেখা \((3, 6)\) পয়েন্ট দিয়ে যায়। অতএব,
\[
a \times 3 + b \times 6 + c = 0
\]
অর্থাৎ:
\[
3a + 6b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -3a - 6b
\]
তাহলে, দূরত্বের সমীকরণ হবে:
\[
6 = \frac{|a \times 3 + b \times 6 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
উপস্থাপনা:
\[
6 = \frac{|3a + 6b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
অর্থাৎ:
\[
|3a + 6b + c| = 6 \sqrt{a^2 + b^2}
\]
তুলনা করি:
\[
|3a + 6b + (-3a - 6b)| = 0
\]
এখানে, লক্ষ্য হলো যে, এই সমীকরণটি হয়:
\[
|0| = 0
\]
যা সত্য নয়, তবে আমরা অন্য সমাধান নির্বাচন করব।
আসুন, ধরি সরলরেখার সমীকরণ:
\[
ax + by + c = 0
\]
এবং এই সমীকরণের জন্য, আমরা নির্ণয় করব \(a, b, c\) এর মান।
প্রথমত, আমরা চাই যে, এই রেখাটি \((3, 6)\) পয়েন্ট দিয়ে যায় এবং দূরত্ব 6 একক।
একটি সহজ উপায় হলো, ধরুন, সরলরেখার সমীকরণ:
\[
2x + y - k = 0
\]
এখন, এই রেখা \((3, 6)\) দিয়ে যায়:
\[
2 \times 3 + 6 - k = 0 \Rightarrow 6 + 6 - k = 0 \Rightarrow k = 12
\]
তাহলে, রেখার সমীকরণ:
\[
2x + y - 12 = 0
\]
এখন, এই রেখার থেকে মূলবিন্দু \((0,0)\) থেকে দূরত্ব:
\[
d = \frac{|a \times 0 + b \times 0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{| -12 |}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{5}} \approx 5.36 \neq 6
\]
অর্থাৎ, এই সমীকরণটি উপযুক্ত নয়।
পরবর্তী, ধরি: \(a = 4, b = 3\), কারণ এই গুণফলগুলো দিয়ে সহজে সমাধান সম্ভব।
সুতরাং, সমীকরণ:
\[
4x + 3y + c = 0
\]
\((3,6)\) দিয়ে যায়:
\[
4 \times 3 + 3 \times 6 + c = 0 \Rightarrow 12 + 18 + c = 0 \Rightarrow c = -30
\]
এখন, দূরত্ব:
\[
d = \frac{|4 \times 0 + 3 \times 0 - 30|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{30}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{25}} = \frac{30}{5} = 6
\]
প্রাপ্ত দূরত্ব 6 একক, যা প্রয়োজনীয়।
সুতরাং, সরলরেখার সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{4x + 3y - 30 = 0}
\]
