Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ \(45^\circ\) এবং উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 10 সেমি ও 8 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
সমাধান:
ধরা যাক, ত্রিভুজের এক কোণ \(A = 45^\circ\), তার সংলগ্ন বাহু দুটি হলো \(AB = 10\) সেমি এবং \(AC = 8\) সেমি।
প্রথমে, ত্রিভুজের ভেতর কোণ \(A\) এর বিপরীত বাহু \(BC\) খুঁজে বের করতে হবে।
এটি করার জন্য, আমরা কসাইন সূত্র ব্যবহার করব:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A
\]
এখানে:
\[
BC^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \times 10 \times 8 \times \cos 45^\circ
\]
\[
BC^2 = 100 + 64 - 160 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
কারণ, \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
BC^2 = 164 - 160 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
BC^2 = 164 - 80 \sqrt{2}
\]
অতএব,
\[
BC = \sqrt{164 - 80 \sqrt{2}}
\]
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(K\) হিসাব করব:
\[
K = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A
\]
এখানে:
\[
K = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 \times \sin 45^\circ
\]
\[
K = 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
K = 20 \sqrt{2}
\]
সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো \(\boxed{20 \sqrt{2}}\) বর্গ সেমি।
