একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সাথে যেকোন দুটি কৌণিক বিন্দু সংযুক্ত করে নতুন ত্রিভুজ গঠন করা হলো। নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের কত অংশ হবে?

Explanation: Hints: ত্রিভুজের মধ্যমায় যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ভরকেন্দ্র বলে। ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে \(2 : 1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা বিপরীত বাহু উপর লম্ব হয়। Solve: মনে করি, \(\triangle ABC\) সমবাহু, \(AB = BC = CA = a\), ভরকেন্দ্র \(G\), \(B\) ও \(C\) বিন্দুকে যোগ করে \(\triangle BGC\) গঠন করা হয়েছে; \(AD\) মধ্যমা। \(AG : GD = 2 : 1\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times BC \times AD\) \(\triangle AGC\) এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \times BC \times GD\) \(\therefore \frac{\triangle BGC}{\triangle ABC} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times GD}{\frac{1}{2} \times BC \times AD} = \frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}\) \(\therefore \triangle BGC = \frac{1}{3} \times \triangle ABC\) Ans. (D)

Another Explanation (5): একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের সাথে যেকোনো দুটি কৌণিক বিন্দু সংযুক্ত করে নতুন ত্রিভুজ গঠন করা হলে, নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের \( \frac{1}{3} \) অংশ হবে। 🤔 ব্যাখ্যা: মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। এর ভরকেন্দ্র O. A, B, C তিনটি কৌণিক বিন্দু। A এবং B বিন্দুকে ভরকেন্দ্র O এর সাথে যুক্ত করে \( \triangle AOB \) গঠিত হলো। আমরা জানি, ভরকেন্দ্র ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট তিনটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল \( \triangle AOB \) = ক্ষেত্রফল \( \triangle BOC \) = ক্ষেত্রফল \( \triangle COA \) সুতরাং, ক্ষেত্রফল \( \triangle AOB \) = \( \frac{1}{3} \) ক্ষেত্রফল \( \triangle ABC \) 🥳 অতএব, নতুন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের \( \frac{1}{3} \) অংশ। 😎