একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু (1,2), (4,4) এবং (2,8) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত একক?

ধরি, ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) এবং \(C(x_3, y_3)\).

ধরি, \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D(1,2)\), \(E(4,4)\) এবং \(F(2,8)\).

আমরা জানি, ত্রিভুজের কোনো বাহুর মধ্যবিন্দু ওই বাহুর প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্কের গড় হয়। সুতরাং,

\(\frac{x_2 + x_3}{2} = 1\), \(\frac{y_2 + y_3}{2} = 2\) \(\Rightarrow x_2 + x_3 = 2\), \(y_2 + y_3 = 4\) ...(1)

\(\frac{x_3 + x_1}{2} = 4\), \(\frac{y_3 + y_1}{2} = 4\) \(\Rightarrow x_3 + x_1 = 8\), \(y_3 + y_1 = 8\) ...(2)

\(\frac{x_1 + x_2}{2} = 2\), \(\frac{y_1 + y_2}{2} = 8\) \(\Rightarrow x_1 + x_2 = 4\), \(y_1 + y_2 = 16\) ...(3)

এখন, (1), (2) ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

\(2(x_1 + x_2 + x_3) = 2 + 8 + 4 = 14\) \(\Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 7\)

\(2(y_1 + y_2 + y_3) = 4 + 8 + 16 = 28\) \(\Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 = 14\)

অতএব,

\(x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 7 - 2 = 5\)

\(y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 14 - 4 = 10\)

\(x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_3 + x_1) = 7 - 8 = -1\)

\(y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_3 + y_1) = 14 - 8 = 6\)

\(x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 7 - 4 = 3\)

\(y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 14 - 16 = -2\)

সুতরাং, \(A(5, 10)\), \(B(-1, 6)\) এবং \(C(3, -2)\).

ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

= \(\frac{1}{2} |5(6 - (-2)) + (-1)(-2 - 10) + 3(10 - 6)|\)

= \(\frac{1}{2} |5(8) -1(-12) + 3(4)|\)

= \(\frac{1}{2} |40 + 12 + 12|\)

= \(\frac{1}{2} |64|\)

= 32 বর্গ একক। 🥳

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 32 বর্গ একক। 🎉