x=a, y=b, y=mx রেখা তিনটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল কোনটি?

দেওয়া আছে তিনটি সরলরেখা:

1. x = a
2. y = b
3. y = mx

এই তিনটি রেখা একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে রেখাগুলোর ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে।

প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার ছেদ বিন্দু:

x = a এবং y = b রেখা পরস্পরকে (a, b) বিন্দুতে ছেদ করে। 📍

প্রথম ও তৃতীয় রেখার ছেদ বিন্দু:

x = a এবং y = mx রেখা পরস্পরকে (a, ma) বিন্দুতে ছেদ করে। 🎯

দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার ছেদ বিন্দু:

y = b এবং y = mx ⇒ mx = b ⇒ x = b/m সুতরাং ছেদ বিন্দুটি হলো (b/m, b)। 📌

সুতরাং, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: A(a, b), B(a, ma) এবং C(b/m, b)।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\(\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

এখানে, \(x_1 = a, y_1 = b\); \(x_2 = a, y_2 = ma\); \(x_3 = \frac{b}{m}, y_3 = b\)

ক্ষেত্রফল \(\Delta = \frac{1}{2} |a(ma - b) + a(b - b) + \frac{b}{m}(b - ma)|\)

\(\Delta = \frac{1}{2} |a^2m - ab + 0 + \frac{b^2}{m} - ab|\)

\(\Delta = \frac{1}{2} |a^2m - 2ab + \frac{b^2}{m}|\)

\(\Delta = \frac{1}{2m} |a^2m^2 - 2abm + b^2|\)

\(\Delta = \frac{1}{2m} |(b - am)^2|\)

যেহেতু ক্ষেত্রফল সবসময় ধনাত্মক, তাই আমরা পরম মান চিহ্ন (| |) ব্যবহার করতে পারি।

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\Delta = \frac{1}{2m} (b - am)^2\)। 🎉

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: <div class="mathy">1/(2m)(b-ma)^2</div>