x + y - 2 = 0 রেখাটির—

1. সমান্তরাল রেখা 2x + 3y + 3 = 0
2. মূলবিন্দু হতে লম্ব রেখার দূরত্ব √2 একক
3. মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশ দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

সমাধান

প্রশ্নে দেওয়া রেখাঃ \[ x + y - 2 = 0 \] উপস্থিত বিকল্পসমূহ:

1. সমান্তরাল রেখা 2x + 3y + 3 = 0
2. মূলবিন্দু হতে লম্ব রেখার দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
3. মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশ দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

প্রথমে, রেখাটির ধ্রুবক ধরণ ও মূলবিন্দু নির্ণয় করিঃ

প্রদত্ত রেখাঃ \[ x + y - 2 = 0 \] **মূলবিন্দু (x₀, y₀):** প্রতিটি রেখার ধ্রুবক ধরণে, মূলবিন্দু হলো যে বিন্দু দিয়ে রেখাটির থেকে দূরত্ব নির্ণয় করা যায়। মূলবিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব হলো: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] এখানে, \(a=1, b=1, c=-2\). ---

উপযুক্ত মূলবিন্দু নির্ণয়:

কোনো বিন্দু \((x_0, y_0)\) এর জন্য, রেখার থেকে দূরত্ব \(d\) নির্ণয় করি। তবে, মূলবিন্দু খুঁজতে চাই, যেখানে রেখাটির সাথে নির্দিষ্ট দূরত্ব বা অন্য তথ্য প্রয়োগ করা হবে। ---

বিকল্প (i): সমান্তরাল রেখা 2x + 3y + 3 = 0

দেখা যাক, এই রেখার ধ্রুবক ধরণ ও মূল রেখার ধ্রুবক ধরণ তুলনা করি। রেখা: \[ x + y - 2 = 0 \] অন্য রেখা: \[ 2x + 3y + 3 = 0 \] দুটি রেখার আপেক্ষিক ধ্রুবক ধরণ: - প্রথম রেখা: \(a=1, b=1\) - দ্বিতীয় রেখা: \(a=2, b=3\) দুটি রেখার সমান্তরাল হলে, তাদের ধ্রুবক ধরণ সমান বা অনুপাতের সমান হওয়া উচিত: \[ \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3} \] অর্থাৎ, এই দুই রেখা সমান্তরাল নয়। সুতরাং, বিকল্প (i) ভুল। ---

বিকল্প (ii): মূলবিন্দু হতে লম্ব রেখার দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক

ধরি, মূলবিন্দু \(P(x_0, y_0)\) হয়, তখন রেখার থেকে দূরত্ব: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] প্রশ্নে দেওয়া রেখা: \[ x + y - 2 = 0 \] অর্থাৎ, \(a=1, b=1, c=-2\). প্রতিটি বিন্দুর জন্য, দূরত্ব: \[ d = \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{2}} \] প্রশ্নে বলা হয়েছে, মূলবিন্দু থেকে এই রেখার লম্ব রেখার দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক। তাহলে: \[ \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow |x_0 + y_0 - 2| = 2 \] অর্থাৎ, \[ x_0 + y_0 - 2 = \pm 2 \] দুটি সমাধান: 1. \(x_0 + y_0 = 4\) 2. \(x_0 + y_0 = 0\) অতএব, মূলবিন্দু যে কোনও বিন্দু এই দুটি সমীকরণের উপর থাকতে পারে। এই তথ্য আমরা গ্রহণ করছি, তাই বিকল্প (ii) সত্য। ---

বিকল্প (iii): মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশ দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

এখানে বোঝানো হয়েছে, মূল রেখা \(x + y - 2 = 0\) এর উপর দুটি বিন্দু নিয়ে তার মধ্যবর্তী বিন্দু দিয়ে অক্ষদ্বয় (অক্ষের সাথে) উৎপন্ন ট্রাইঅ্যাঙ্গেলটির ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক। ধরি, দুই বিন্দু: \[ A(x_1, y_1), \quad B(x_2, y_2) \] এই দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী বিন্দু \(M\): \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ট্রাইঅ্যাঙ্গেল: - ধরা হোক, অক্ষ হলো \(x\)-অক্ষ বা \(y\)-অক্ষ। তবে সাধারণত, অক্ষের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। প্রশ্নের তথ্য অনুযায়ী, মধ্যবর্তী বিন্দু দিয়ে অক্ষের সাথে ট্রাইঅ্যাঙ্গেল তৈরি হয়, যার ক্ষেত্রফল 2। এখন, এই ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি: ধরি, বিন্দুগুলোর সমীকরণ: \[ A(x_1, y_1), \quad B(x_2, y_2) \] মধ্যে বিন্দু: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] এবং, এই মধ্যবর্তী বিন্দু থেকে অক্ষের দূরত্ব যথাক্রমে: - যদি অক্ষ হলো \(x\)-অক্ষ, তাহলে দূরত্ব: \[ |y_M| = \left| \frac{y_1 + y_2}{2} \right| \] - যদি অক্ষ হলো \(y\)-অক্ষ, তাহলে দূরত্ব: \[ |x_M| = \left| \frac{x_1 + x_2}{2} \right| \] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{অক্ষের দূরত্ব} \times \text{অক্ষের জন্য ভিত্তি} \] অর্থাৎ, ধরা যাক, অক্ষ হলো \(x\)-অক্ষ। তাহলে ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} \times |y_M| \times \text{বেড়া} = 2 \] অর্থাৎ, \[ |y_M| \times \text{বেড়া} = 4 \] এখানে, বিন্দুগুলো \(x_1, y_1\) এবং \(x_2, y_2\) রেখার উপর, অর্থাৎ: \[ x_1 + y_1 - 2 = 0 \quad \text{অথবা} \quad x_2 + y_2 - 2= 0 \] তাহলে, \[ y_1 = 2 - x_1, \quad y_2 = 2 - x_2 \] মধ্যে বিন্দু: \[ y_M = \frac{(2 - x_1) + (2 - x_2)}{2} = \frac{4 - (x_1 + x_2)}{2} \] বেড়া: \[ |y_M| = \left| \frac{4 - (x_1 + x_2)}{2} \right| \] বিন্দু দুটির \(x\)-মান নিয়ে, \(x_1\) ও \(x_2\), সেই অনুযায়ী ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} \times \left| \frac{4 - (x_1 + x_2)}{2} \right| \times |x_1 - x_2| = 2 \] এখানে, \(x_1, x_2\) যেকোনো হতে পারে, তবে মূলত, এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, এই শর্ত পূরণ হলে ক্ষেত্রফল 2 হবে। অতএব, এই শর্ত সম্ভব এবং সত্য। ---

সারসংক্ষেপঃ

- (i) ভুল, কারণ রেখাগুলো সমান্তরাল নয়। - (ii) সত্য, কারণ দূরত্বের মান অনুযায়ী মূলবিন্দু নির্ণয় সম্ভব। - (iii) সম্ভব এবং সত্য, কারণ মধ্যবর্তী বিন্দু ও অক্ষের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 হতে পারে। অতএব, সঠিক উত্তর:

ii ও iii