f(x)=sqrt(x^5-32)/x ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ যথাক্রমে-

ফাংশনটি হলো: \( f(x) = \frac{\sqrt{x^5 - 32}}{x} \)

ডোমেন নির্ণয়:

ডোমেন হলো \(x\) এর সেইসব মান, যেগুলোর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। এখানে দুটি শর্ত আছে:

1. বর্গমূলের ভিতরের রাশি \(x^5 - 32\) অঋণাত্মক হতে হবে, অর্থাৎ \(x^5 - 32 \geq 0\)।
   \(x^5 \geq 32\)
   \(x \geq \sqrt[5]{32}\)
   \(x \geq 2\)
2. ভগ্নাংশের হর \(x\) শূন্য হওয়া যাবে না, অর্থাৎ \(x \neq 0\)।

অতএব, ডোমেন হলো \( x \geq 2 \), যাকে আমরা লিখতে পারি: \( [2, \infty) \). 🥳

রেঞ্জ নির্ণয়:

\(x\) এর মান \(2\) অথবা তার থেকে বড় যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এখন আমরা দেখব \(f(x)\) এর মান কি হতে পারে।

যখন \(x = 2\), তখন \(f(2) = \frac{\sqrt{2^5 - 32}}{2} = \frac{\sqrt{32 - 32}}{2} = 0\).

এখন, যখন \(x\) অসীম এর দিকে যায়, তখন \(f(x)\) এর মান কি হয় দেখা যাক।

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^5 - 32}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^5(1 - \frac{32}{x^5})}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{5/2} \sqrt{1 - \frac{32}{x^5}}}{x} = \lim_{x \to \infty} x^{3/2} \sqrt{1 - \frac{32}{x^5}} \)

যেহেতু \(x\) অসীমের দিকে যাচ্ছে, \(\frac{32}{x^5}\) এর মান শূন্যের দিকে যাবে। সুতরাং,

\( \lim_{x \to \infty} x^{3/2} \sqrt{1 - \frac{32}{x^5}} = \infty \)

সুতরাং, \(f(x)\) এর মান \(0\) থেকে শুরু করে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।

অতএব, রেঞ্জ হলো \( [0, \infty) \). 🎉

যেহেতু ডোমেন \( [2, \infty) \) এবং রেঞ্জ \( [0, \infty) \), তাই উত্তর "কোনটিই নয়" সঠিক নয়। 🤔