((7,y),(1,-3)) ((3),(8))=((13),(7x))   হলে, x²+y²= কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, দেওয়া সমীকরণটি বুঝি: \[ ((7,y),(1,-3)) \times ((3),(8)) = ((13),(7x)) \] এখানে, মনে হচ্ছে এটি দুটি সেটের মধ্যে একটি ক্রস প্রোডাক্ট বা ম্যাট্রিক্স গুণের সমীকরণ। তবে, এই ধরনের লেখা সাধারণত ম্যাট্রিক্সের গুণ বা ভেক্টর প্রোডাক্ট বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। ধরি, প্রথম সেটটি ভেক্টর \(\vec{A} = (7, y)\) এবং দ্বিতীয় সেটটি \(\vec{B} = (1, -3)\)। তবে, সেটের মধ্যে গুণের জন্য কিছুটা বিভ্রান্তি থাকলেও, সাধারণভাবে ম্যাট্রিক্স গুণ বোঝানো হলে: \[ \begin{bmatrix} 7 & y \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \quad \text{এবং} \quad \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \end{bmatrix} \] এবং এই দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল: \[ \begin{bmatrix} 7 & y \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 8 \end{bmatrix} \] গুণ করলে, প্রথম সারির জন্য: \[ (7 \times 3) + (y \times 8) = 21 + 8y \] দ্বিতীয় সারির জন্য: \[ (1 \times 3) + (-3 \times 8) = 3 - 24 = -21 \] অতঃপর, গুণফলের ফলাফল হবে: \[ \begin{bmatrix} 21 + 8y \\ -21 \end{bmatrix} \] প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই ফলাফল সমান: \[ \begin{bmatrix} 13 \\ 7x \end{bmatrix} \] অর্থাৎ, \[ \begin{cases} 21 + 8y = 13 \\ -21 = 7x \end{cases} \] প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ 21 + 8y = 13 \Rightarrow 8y = 13 - 21 \Rightarrow 8y = -8 \Rightarrow y = -1 \] দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: \[ -21 = 7x \Rightarrow x = -3 \] এখন, \(x^2 + y^2\) এর মান নির্ণয় করি: \[ x^2 + y^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10 \] অতএব, উত্তর: \[ \boxed{10} \]